shinichigl

Cho tam giác ABC có các điểm P,Q thuộc cạnh BC sao cho AP=AQ. Đường tròn ngoại tiếp tam giác APB cắt CA tại E khác A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AQC cắt AB tại F khác A. Lấy các điểm M,N lần lượt thuộc tia đối của các tia PE,QF sao cho PM.QN=PE.QF. R là giao điểm của BN và CM. K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác RMN. Chứng minh rằng AK vuông góc BC.

Câu 1.

Giải phương trình $x\sqrt{x^{2}+6}+\left ( x+1 \right )\sqrt{x^{2}+2x+7}=\frac{13}{5}\left ( 2x+1 \right )$

 

Câu 2.

Cho đường tròn $\left ( \omega \right )$. Trên $\left ( \omega \right )$, lấy hai điểm cố định $A$ và $B$ sao cho các tiếp tuyến tại $A$ và $B$ của $\left ( \omega \right )$ cắt nhau. Gọi $P$ là giao điểm của hai tiếp tuyến đó. Một điểm $C$ di động trên cung lớn $AB$ của $\left ( \omega \right )$. Đường thẳng $CP$ cắt lại đường tròn $\left ( \omega \right )$ tại điểm $D$ (khác $C$). Gọi $I$ và $J$ lần lượt là trung điểm của $CD$ và $AB$. Hãy xác định vị trí của điểm $C$ trên cung lớn $AB$ của đường tròn $\left ( \omega \right )$ để biểu thức $S=JC+JD-IA-IB+CD$ đạt giá trị lớn nhất.

 

Câu 3.

Cho các số thực $x,y,z$ sao cho $x+y+z=1$. Chứng minh rằng

$\frac{x}{x^{2}+1}+\frac{y}{y^{2}+1}+\frac{z}{z^{2}+1}\leq \frac{9}{10}$

 

Câu 4.

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $\left ( x,y \right )$ sao cho $\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y}$ là số nguyên và là ước của $1995$.

 

Câu 5.

Với mỗi $n\in \mathbb{N}^{*}$, một $n$ - cầu thang là một hình gồm $\frac{n\left ( n+1 \right )}{2}$ ô vuông đơn vị (gọi tắt là ô): $1$ ô ở hàng thứ nhất, $2$ ô liên tiếp nhau ở hàng thứ hai,..., $n$ ô liên tiếp nhau ở hàng thứ $n$ (số thứ tự của các hàng được tính theo chiều từ trên xuống dưới) sao cho tất cả các ô tận cùng bên trái của mỗi hàng thì nằm trên cùng một cột. Gọi $f\left ( n \right )$ là số bé nhất các hình vuông với cạnh nguyên dương cần dùng để phủ khít một $n$ - cầu thang (các hình vuông không nhất thiết bằng nhau nhưng phải không được chờm lên nhau hay chờm ra ngoài $n$ - cầu thang). Chẳng hạn, $f\left ( 1 \right )=1,f\left ( 2 \right )=3,f\left ( 4 \right )=7$. Hãy tìm tất cả các số $n\in \mathbb{N}^{*}$ để $f\left ( n \right )=n$.

 

Câu 6.

Cho $f:\mathbb{N}^{*}\rightarrow \mathbb{N}$ thoã mãn các tính chất:

1. $\forall m,n\in \mathbb{N}^{*}$: $f\left ( m+n \right )-f\left ( m \right )-f\left ( n \right )$ lấy giá trị $0$ hoặc $1$.

2. $f\left ( 2 \right )=0$ và $f\left ( 3 \right )>0$.

3. $f\left ( 9999 \right )=3333$.

Tính $f\left ( 2014 \right )$.

KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG QUỐC GIA

Khóa ngày 18 tháng 9 năm 2012

MÔN TOÁN (Vòng II)

Thời gian làm bài: 180 phút

 

Câu 1. (4,0 điểm)

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 2y=\left ( x-y \right )\left ( y+3x \right )                    (1) & \\ 3\frac{y^{2}}{x^{2}}+2\frac{y^{2}}{x}+x-3y=0     (2) & \end{matrix}\right.$

 

Câu 2. (4,0 điểm)

Cho tam giác ABC có $\widehat{BAC}=120^{o}$. Chứng minh rằng khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến trực tâm của tam giác ABC bằng $AB+AC$.

 

Câu 3. (4,0 điểm)

Cho các số dương $x_{1},x_{2},...,x_{n}$, nằm trên một đoạn $\Delta$ có độ dài bằng $2$, với $n\geq 2$. Chứng minh rằng:

$x_{1}+x_{2}+...+x_{n}\leq \sqrt{x_{1}x_{2}+1}+\sqrt{x_{2}x_{3}+1}+...+\sqrt{x_{n}x_{1}+1}\leq x_{1}+x_{2}+...+x_{n}+n$.

 

Câu 4. (4,0 điểm)

Cho các dãy số $\left ( a_{n} \right )$ và $\left ( b_{n} \right )$ thõa mãn các điều kiện: $a_{1}=1,b_{1}=2$ thì

$a_{n+1}=\frac{1+a_{n}+a_{n}b_{n}}{b_{n}},b_{n+1}=\frac{1+b_{n}+a_{n}b_{n}}{a_{n}}$

Tính $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n}}{\sqrt{n}}$.

 

Câu 5. (4,0 điểm)

Có bao nhiêu số tự nhiên có $2013$ chữ số mà số các chữ số $0$ xuất hiện là chẵn?

 

P\s: Mình không chắc đề Câu 4 lắm

Cho hai dãy số: $x_{n}$ có giới hạn hữu hạn là $a$ và $y_{n}$ có giới hạn hữu hạn là $b$. Chứng minh $\lim_{n\rightarrow +\infty }\left ( x_{n} .y_{n}\right )=a.b$

Trong 1 cuộc hội thảo khoa học mỗi người tham dự đều quen ít nhất 3 người khác. Chứng minh rằng tồn tại 1 số nguyên dương $k$ không chia hết cho 3 sao cho ta có thể chọn ra được $k$ người và xếp ngồi quanh 1 bàn tròn sao cho mỗi người đều ngồi giữa 2 người quen nhau