hoctrocuanewton

Giải bất phương trình sau :

$(x\sqrt{x}-2\sqrt{x}-2)\sqrt{x+\sqrt{x}+10}\geq  x^{2}-x-8\sqrt{x}-4$

@congdaoduy9a : Đã fix rồi nha bạn :3

Cho $a,b,c>0$, thoả mãn:$a^{4}+b^{4}+c^{4}=3$. Tìm Max

$A=\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ac}$

Ta có :

$2A= \sum \frac{2}{4-ab}=\sum (1-\frac{2-ab}{4-ab})= \sum (1-\frac{4-a^{2}b^{2}}{(4-ab)(2+ab)})= \sum (1-\frac{4-a^{2}b^{2}}{-(ab-1)^{2}+9})\leq\sum (1-\frac{4-a^{2}b^{2}}{9})= \frac{15}{9}+\sum \frac{a^{2}b^{2}}{9}\leq \frac{15}{9}+\frac{\sum a^{4}}{9}=2$

Vậy $MaxA=1$ , dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Cho $a,b,c>0$. CMR:$\frac{a^2}{b(b+c)}+\frac{b^2}{c(c+a)}+\frac{c^2}{a(a+b)} \geq \frac{3}{2}$ 

Áp dụng BĐT cô-si và schwarz ta có :

$\sum \frac{a^{2}}{b(b+c)}=\frac{8a^{2}}{8b(b+c)}\geq \frac{8a^{2}}{(3b+c)^{2}}\geq \frac{8}{3}(\sum \frac{a}{3b+c})^{2}= \frac{8}{3}(\sum \frac{a^{2}}{3ab+ac})^{2}\geq \frac{8}{3}(\frac{(a+b+c)^{2}}{4\sum ab})^{2}\geq \frac{8}{3}.(\sum \frac{(\sum a)^{2}}{\frac{4}{3}(\sum a)^{2}})= \frac{3}{2}$

Cho x,y>0 thỏa x+y=$\frac{5}{4}$ Tìm GTNN của $A=\frac{4}{x}+\frac{1}{4y}$

Áp dụng BĐT schwarz ta có :

$A=\frac{4}{x}+\frac{1}{4y}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{4y}\geq \frac{25}{4(x+y)}=5$

Dấu "=" xảy ra khi $x=1,y=\frac{1}{4}$

Giải hệ phương trình sau :

$\left\{\begin{matrix} x(y^{3}-x^{3})=7\\ x^{4}+x^{3}y+9y=y^{3}x+x^{2}y^{2}+9x \end{matrix}\right.$

Cho $\left\{\begin{matrix} a,b,c>0\\ abc=1 \end{matrix}\right.$ 

Tìm Min của :$P=\sum \frac{a}{b^{2}}+\frac{9}{2(a+b+c)}$

Cho  : $\left\{\begin{matrix} a,b,c>0\\ a^{2}+b^{2}+c^{2}=3 \end{matrix}\right.$  

Tìm GTLN của : $P=\sum \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b+c}}$

Cho a,b,c dương. CMR:$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 3(\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a})$

Áp dụng BĐT schwarz ta có :

$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\geq \frac{9}{a+2b}\\ \frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{b+2c} \\ \frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\geq \frac{9}{c+2a} \end{matrix}\right.$

Công theo vế ta được đpcm

Cho $\left\{\begin{matrix}a,b,c\ge 0 & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\dfrac{a}{a^{2}+1}+\dfrac{b}{b^{2}+1}+\dfrac{c}{c^{2}+1}\le \dfrac{9}{10}$

Áp dụng lần lượt BĐT Cô si và schwarz ta có :

$\sum \frac{a}{a^{2}+1}\leq \sum \frac{a}{\frac{2a}{3}+\frac{8}{9}}\leq \frac{1}{25}\sum (\frac{a}{\frac{2a}{3}}+\frac{4a}{\frac{2}{9}})= \frac{1}{25}\sum (\frac{3}{2}+18a)= \frac{1}{25}(\frac{9}{2}+18(a+b+c))= \frac{9}{10}$

Vậy ta được đpcm

Giải phương trình :$-2cosx.sin\tfrac{2x}{3}+sinx = 0(1)$

 

Đặt $a=\frac{x}{3}$

$(1)\Leftrightarrow -2\cos 3a.\sin 2a+\sin 3a=0$

$\Rightarrow -4\cos 3a.\sin a.\cos a+3\sin a-4\sin ^{3}a=0$

Đến đây chắc là bạn tự giải được rồi 

Cho $a,b,c>0$,$abc=1$.Tìm giá trị nhỏ nhất của:$A=\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{x+z+1}+\frac{z}{x+y+1}$

 

@Chú ý:Bài toán đúng đề nhé không phải giá trị lớn nhất mong các bạn đừng spam!

Dựa vào điều kiện bài toán ta có :

$1=xyz\leq \frac{(x+y+z)^{3}}{27}\Rightarrow 3\leq \sum x\Rightarrow 3\sum x\leq (\sum x)^{2}$

Áp dụng BĐT schwarz ta có :

$\sum \frac{x}{y+z+1}= \sum \frac{x^{2}}{xy+xz+x}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{2(xy+yz+xz)+(x+y+z)}\geq \frac{(\sum x)^{2}}{\frac{2(\sum x)^{2}}{3}+\frac{(\sum x)^{2}}{3}}= 1$

Vậy $MinA=1$ . Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$

CMR với số thực dương a, b, c ta có $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab + 2b^{2}}+ \frac{b^{3}}{b^{2}+bc + 2c^{2}}+ \frac{c^{3}}{c^{2}+ca + 2a^{2}}\geq \frac{a + b + c}{4}(1)$

 

@MOD : Chú ý khi đặt tiêu đề

Áp dụng BĐT schwarz ta có :

$\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+ab + 2b^{2}}=\sum \frac{a^{4}}{a^{3}+a^{2}b+2ab^{2}}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})+\sum ab^{2}}$

Nhận thấy :

$(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leq \frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{(a+b+c)}$

Nên để chứng minh (1) ta chỉ cần chứng minh :

$ \sum ab^{2}\leq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{a+b+c}$

$\Leftrightarrow \sum a^{4}+\sum a^{2}b^{2}\geq abc(a+b+c)+\sum ab^{3}$

Áp dụng BĐT cô si ta có :

$a^{4}+b^{2}c^{2}\geq 2a^{2}bc$

$a^{2}b^{2}+b^{4}\geq 2ab^{3}$

Chứng minh tương tự rồi cộng theo vế ta được đpcm

 

Cho $x;y;z>0$ thỏa mãn: $\sum \frac{1}{x^3}=2$. Cmr: $$\sum \frac{1}{x^2(2x+3y+z)}\leq \frac{1}{3}$$

 

Áp dụng lần lượt BĐT schwarz và côsi ta có :

$\sum \frac{1}{x^{2}(2x+3y+z)}\leq \frac{1}{36}\sum (\frac{4}{2x^{3}}+\frac{9}{3x^{2}y}+\frac{1}{x^{2}z})\leq \frac{1}{36}\sum (\frac{2}{x^{3}}+(\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}})+\frac{1}{3}(\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{z^{3}}))= \frac{1}{6}\sum \frac{1}{x^{3}}=\frac{1}{3}$

Vậy ta được đpcm

Cho a, b , c > 0 và a + b + c $\leq \frac{3}{2}$.

Chứng minh: S = $a+b+c +\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{15}{2}$

Lần lượt  áp dụng BĐT schwarz và côsi ta có :

$\sum x+\sum \frac{1}{x}\geq \sum x+\frac{9}{\sum x}= (\sum x+\frac{9}{4\sum x})+\frac{27}{4\sum x}\geq 3+\frac{9}{2}=\frac{15}{2}$

Vậy ta được đpcm . Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{2}$

Cho a ,b ,c dương thõa mãn $ a^2+b^2+c^2=3$ CMR

    $\frac{1}{3-ab}+\frac{1}{3-bc}+\frac{1}{3-ca} \leq \frac{3}{2}$

Áp dụng BĐT schwarz ta có :

$\sum \frac{1}{3-ab}= \sum (\frac{1}{3}+\frac{ab}{3(3-ab)})= 1+\sum \frac{4ab}{6(6-2ab)}\leq1+\sum \frac{(a+b)^{2}}{6(6-a^{2}-b^{2})}= 1+\sum \frac{(a+b)^{2}}{6(2c^{2}+a^{2}+b^{2})}\leq 1+\frac{1}{6}(\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}+c^{2}})= 1+\frac{1}{2}= \frac{3}{2}$

Vậy ta được đpcm