LuminousVN

Tính $S=\frac{1}{2}C^0_{2n}+\frac{1}{4}C^2_{2n}+...+\frac{1}{2n+2}C^{2n}_{2n}$

+ Gọi $A=\left \{2k|2k \in X,k \in N*  \right \}$. Ta có $2 \leq 2k \leq 2010 \Leftrightarrow 1 \leq k \leq 1005$. Do đó, $|A| = 1005$.

+ Gọi $B=\left \{3k|3k \in X,k \in N*  \right \}$. Ta có $|B| = 670$.

+ Gọi $C=\left \{5k|5k \in X,k \in N*  \right \}$. Ta có $|C|=402$.

+ Gọi $D=\left \{7k|7k \in X,k \in N*  \right \}$. Ta có $|D|=287$.

+ $A\cap B=\left \{6k|6k \in X,k \in N* \right \}$. Ta có $|A \cap B|=335$.

+ $|B \cap C|=134$.

+ $|C \cap D|=57$.

+ $|D \cap A|=143$.

+ $|A \cap C|=201$.

+ $|B \cap D|=95$.

+ $|A \cap B \cap C|=67$.

+ $|A \cap B \cap D|=47$.

+ $|A \cap C \cap D|=28$.

+ $|B \cap C \cap D|=19$.

+ $|A \cap B \cap C \cap D|=9$.

Giá trị cần tìm là

$|A \cup B \cup C \cup D|=\sum |A|-\sum |A \cap B|+\sum|A \cap B \cap C|-|A \cap B \cap C \cap D|=1551$

Giải phương trình $3x \sqrt{x^3+1}=x^3+x^2-19x-16$

 

@MOD: chú ý cách đặt tiêu đề

UBND TỈNH BÌNH DƯƠNG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

   

 

 

 

KỲ THI OLYMPIC TOÁN THPT

LẦN V - NĂM HỌC 2013-2014

Môn: Toán – Thi ngày 25/02/2014

Thời gian: 150 phút

(Không kể thời gian phát đề)

 

 

Câu 1: (2,5 điểm)

          Tìm p để phương trình chỉ có một nghiệm: $\frac{1}{\sqrt{x^2+2px}}= \frac{1}{\sqrt{8x-6p-3}}$.

 

Câu 2: (2,5 điểm)

          Cho phương trình: $\sqrt{1+sinx} + \sqrt{1-sinx}=kcosx$.

          a) Giải phương trình với k = 2.

          b) Giải và biện luận phương trình trong trường hợp tổng quát.

 

Câu 3: (2,5 điểm)

          a) Tìm a để phương trình cosx = a có các nghiệm lập thành một cấp số cộng.

          b) Có bao nhiêu cách trồng 10 cây (5 cây Sao và 5 cây Dầu) thành 2 hàng song song (mỗi hàng 5 cây) sao cho 2 cây đối diện bao gồm 1 cây Sao và 1 cây Dầu?

 

Câu 4: (2,5 điểm)

          Trong tất cả các tam giác nội tiếp trong cùng một đường tròn cho trước, tìm tam giác có tổng các bình phương các cạnh lớn nhất.

_____________________________

UBND TỈNH BÌNH DƯƠNG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

   

 

 

 

KỲ THI OLYMPIC TOÁN THPT

LẦN V - NĂM HỌC 2013-2014

Môn: Toán – Thi ngày 25/02/2014

Thời gian: 150 phút

(Không kể thời gian phát đề)

 

 

Câu 1: (2,5 điểm)

          Tìm p để phương trình chỉ có một nghiệm: .

 

Câu 2: (2,5 điểm)

          Cho phương trình: .

          a) Giải phương trình với k = 2.

          b) Giải và biện luận phương trình trong trường hợp tổng quát.

 

Câu 3: (2,5 điểm)

          a) Tìm a để phương trình cosx = a có các nghiệm lập thành một cấp số cộng.

          b) Có bao nhiêu cách trồng 10 cây (5 cây Sao và 5 cây Dầu) thành 2 hàng song song (mỗi hàng 5 cây) sao cho 2 cây đối diện bao gồm 1 cây Sao và 1 cây Dầu?

 

Câu 4: (2,5 điểm)

          Trong tất cả các tam giác nội tiếp trong cùng một đường tròn cho trước, tìm tam giác có tổng các bình phương các cạnh lớn nhất.

_____________________________

 

$(2)\Leftrightarrow 2(x-1)^2=-(y^3+1)$

$\Rightarrow -(y^3+1)\geq 0\Leftrightarrow y^3+1\leq 0\Leftrightarrow y\leq -1$

$\Rightarrow y^2\geq 1$

$(1)\Leftrightarrow y^2=\frac{2x}{x^2+1}\geq 1\Leftrightarrow 2x\geq x^2+1$

$\Leftrightarrow (x-1)^2\leq 0\Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1$

Thay $x=1$ vào (2) ta được $y=-1$.

Vậy hệ có nghiệm $(x;y)=(1;-1)$.

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x+\sqrt{x^2-3}=y+\sqrt{y^2+3} \\ x^3-y^3=3x-3y+4 \end{matrix}\right.$.

Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{y}{x}=\frac{2\sqrt{x}}{y}+2\ (1) & \\ y(\sqrt{x^{2}+1})=\sqrt{3(x^{2}+1)}\ (2) & \end{matrix}\right.$

Ta có 

$(2)\Leftrightarrow \sqrt{x^2+1}(y-\sqrt{3})=0\Leftrightarrow y-\sqrt{3}=0\Leftrightarrow y=\sqrt{3}$

Thay $y=\sqrt{3}$ vào (1) ta có

$\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{3}}{x}=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{3}}+2$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{x^3}+2\sqrt{3x^2}-\sqrt{3x}-3=0$

$\Leftrightarrow 2x(\sqrt{x}+\sqrt{3})-\sqrt{3}(\sqrt{x}+\sqrt{3})=0\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{3})(2x-\sqrt{3})=0$

$\Leftrightarrow 2x-\sqrt{3}=0\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x;y)=\left ( \frac{\sqrt{3}}{2};\sqrt{3} \right )$.

ĐK: $3-2x\geq 0\Leftrightarrow x\leq \frac{3}{2}$

Khi đó, $x\sqrt{3-2x}+1>0\Leftrightarrow x\sqrt{3-2x}>-1$. Ta xét 2 trường hợp sau:

• $x \geq 0$ bất đẳng thức đã cho luôn đúng.

• $x<0$ bất đẳng thức đã cho tương đương với

$x^2(3-2x)<1\Leftrightarrow 2x^3-3x^2+1>0\Leftrightarrow (2x+1)(x-1)^2>0$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x\neq 1 \\ 2x+1>0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x\neq 1 \\ x>-\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$

Kết hợp các điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình đã cho là $-\frac{1}{2}<x \leq \frac{3}{2}$

PHÒNG GD&ĐT                                                       ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ               

TP.BẮC GIANG                                                                 NĂM HỌC 2013-2014

                                                                                              Môn: Toán lớp 9 

                                                                                         Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 2: (5 điểm)

b/ Giải phương trình: $x+\sqrt{16-x^2}=5\sqrt{x+4}+\sqrt{4-x}-8$ (1)

ĐK: $-4\leq x\leq 4$

Đặt $u=\sqrt{4+x},v=\sqrt{4-x}$ $(u,v \geq 0)$, phương trình (1) trở thành

$(u^2-4)+uv=5u+v-8\Leftrightarrow u^2+(v-5)u+(4-v)=0\Leftrightarrow (u-1)(u+v-4)=0$

• $u=1\Leftrightarrow \sqrt{4+x}=1\Leftrightarrow 4+x=1\Leftrightarrow x=-3$

• $u+v=4\Leftrightarrow 8+2\sqrt{16-x^2}=16\Leftrightarrow \sqrt{16-x^2}=4\Leftrightarrow 16-x^2=16\Leftrightarrow x=0$

Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình (1) là $x=-3;\ x=0$.

$B=d_1\cap d_2\Rightarrow B(1;1)$

Đường thẳng AB đi qua $B$ và $M$ có phương trình $AB:x+2y-3=0$

$A \in AB \Rightarrow A(3-2a;a)$

Gọi $M'$ là điểm đối xứng với $M$ qua $d_1$, ta có $M' \in BC$

$MM' \bot d_1,M \in MM'\Rightarrow MM':2x-2y-3=0$

Gọi $E$ là trung điểm của $MM'$, $E=MM'\cap d_1\Rightarrow E\left ( \frac{7}{4};\frac{1}{4} \right )\Rightarrow M'\left ( \frac{3}{2};0 \right )$

Đường thẳng BC đi qua $B$ và $M'$ có phương trình $BC:2x+y-3=0$

$C \in BC\Rightarrow C(c;3-2c)$

Gọi $D$ là trung điểm $AC$ ta có $D\left ( \frac{3-2a+c}{2};\frac{3+a-2c}{2} \right )$

$D \in d_2\Rightarrow 2(3-2a+c)+\frac{5}{2}(3+a-2c)-9=0\Leftrightarrow 3a+6c=9\Leftrightarrow a=3-2c$

$\vec{CA}=(3c-3;0)$

$cosB=\frac{\vec{BM}.\vec{BM'}}{BM.BM'}=\frac{4}{5}\Rightarrow sinB=\frac{3}{5}$

$CA=2R.sinB=3\Leftrightarrow (3c-3)^2=9\Leftrightarrow c=0\vee c=2$

Với $c=0\Rightarrow A(-3;3),C(0;3)$

Với $c=2\Rightarrow A(5;-1),C(2;-1)$

Không mất tính tổng quát, ta giả sử $x+y+z=\sqrt{3}$

$VT=\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}$

$=\frac{x}{(1+x)(1-x)}+\frac{y}{(1+y)(1-y)}+\frac{z}{(1+z)(1-z)}$$=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-y}+\frac{1}{1-z}-\frac{1}{(1+x)(1-x)}-\frac{1}{(1+y)(1-y)}-\frac{1}{(1+z)(1-z)}$

$=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-y}+\frac{1}{1-z}+\frac{1}{x^2-1}+\frac{1}{y^2-1}+\frac{1}{z^2-1}$

$\geq \frac{9}{1-x+1-y+1-z}+\frac{9}{x^2-1+y^2-1+z^2-1}$

$= \frac{9}{3-(x+y+z)}+\frac{9}{x^2+y^2+z^2-3}=\frac{9}{3-\sqrt{3}}+\frac{9}{1-3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Ta giả sử $x\geq y\Leftrightarrow x+z\geq y+z\Leftrightarrow (x+z)^3\geq (y+z)^3$ (1)

Đối chiếu với hệ phương trình đã cho ta có $(1)\Leftrightarrow y\geq x$

Do đó, $x=y$

Tương tự ta cũng có $y=z\Rightarrow x=y=z$

Kết hợp với hệ phương trình đã cho, ta có 

$\left\{\begin{matrix}x=y=z \\ (2x)^3=x \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=y=z=0\vee x=y=z=\pm \frac{1}{\sqrt{8}}$

Vậy hệ có ba nghiệm $(0;0;0),(\frac{1}{\sqrt{8}};\frac{1}{\sqrt{8}};\frac{1}{\sqrt{8}}),(-\frac{1}{\sqrt{8}};-\frac{1}{\sqrt{8}};-\frac{1}{\sqrt{8}})$

Đúng, không tin bạn nhập hàm số vào máy tính rồi thế các số vào sẽ thấy

Phương trình đã cho tương đương với $(2x)^3+2x=(\sqrt[3]{6x+1})^3+\sqrt[3]{6x+1}$ (1)

Xét hàm số $f(t)=t^3+t$. Ta có $f'(t)=3t^2+1>0,\forall t \in \mathbb{R}$ nên $f(t)$ là hàm đồng biến

Do đó, $(1)\Leftrightarrow f(2x)=f(\sqrt[3]{6x+1})\Leftrightarrow 2x=\sqrt[3]{6x+1}$

$\Leftrightarrow 8x^3-6x-1=0$

Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc 3, ta thu được

$x_1=cos\frac{\pi}{9};x_2=cos\frac{5\pi}{9};x_3=cos\frac{7\pi}{9}$