unlimitedcreativity

Cho dãy số $\left \{ u_{n} \right \}$ thỏa mãn:

i)$u_{1}=1;u_{2}=2;u_{3}=24$

ii)$u_{n}=\frac{6u_{n-1}^{2}u_{n-3}-8u_{n-1}u_{n-2}^{2}}{u_{n-2}u_{n-3}}$ với $n=4,5,...$

Chứng minh với mọi n thì $u_{n}\vdots n$.

Cho dãy số a_n thỏa mãn: $a_{o}=2; a_{1}=2013.$ và $a_{n+2}=2013a_{n+1}-a_{n}; \forall n\geq 0$ .

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số.

b) Chứng tỏ rằng luôn tồn tại số nguyên m thỏa mãn đẳng thức: $a_{n+2}a_{n}+4=2013^{2}+m^{2}$.

(Câu này là một số các câu hỏi đề thi tuyển chọn đội tuyển học sinh giỏi tỉnh của trường mình).

Đề có 5 câu tất cả, thời gian làm bài là 120 phút y.

Câu 1:(1,5 đ)

Cho hai biểu thức:

$A=2\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{18}$

$B=\left ( \frac{1}{\sqrt{x}+2}+\frac{1}{\sqrt{x}-2} \right )\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}$

a) Rút gọn A, B.

b) Tìm giá trị của x để A.B=$\sqrt{2}$

Câu 2:(1,5 đ)

a) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x+2y=5\\ 2x-y=0 \end{matrix}\right.$

b) Cho hàm số y=2x² có đồ thị P, hai điểm A, B thuộc P có hoành độ lần lượt là 2, -1. Viết phương trình đường thẳng qua A và B.

Câu 3:(2 đ)

Cho phương trình bậc hai: x²  + 2(m-1)x+ 2m - 6 = 0.

a) Chứng minh rằng phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x_1,,x₂ với mọi m thuộc tập giá trị thực.

b) Tìm tất cả giá trị m để $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+x_{1}x_{2}+13=0$.

Câu 4:(4 đ)

Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Trên đoạn AO lấy điểm C sao cho AC = R/4. Vẽ dây cung ED vuông góc với AB tại C. Các tiếp tuyến của đường tròn tại E,B cắt nhau ở M. Đường thẳng DM cắt đường tròn tại điểm thứ hai K. Đường thẳng EK cắt MO, MB lần lượt tại G, H. Gọi I là giao điểm của MO và EB.

a) Chứng minh tứ giác OIEC nội tiếp.

b) Tính AE theo R.

c) Chứng minh HM²=KH.HE

d)Tính MG theo R.

Câu 5:(1 đ)

Cho a,b thỏa mãn: $0\leq a,b\leq 2, a+b=3$ 

Chứng minh rằng: $a^{2}+b^{2}\leq 5$

Đề này không khó, nhưng cũng hi vọng làm phong phú hơn kho tài liệu của diễn đàn ta.

Tìm số hạng tổng quát của dãy số u_n sau biết:

$u_{0}=a;u_{1}=a^{2};u_{n+2}=\frac{\sqrt[3]{u_{n}^{2}}}{u_{n+1}}$.

Cho a,b là hai số tự nhiên khác 0, hỏi nếu 10a=3b và bội chung nhỏ nhất của a,b là 180 thì a,b là những cặp số nào?