badatmath

 

Câu 1 (4 điểm)

Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=1-\frac{2xy}{x+y}\\ \sqrt{x+y}+y=x^2\end{matrix}\right.$$

 

 

Đk: $x+y> 0$
Ta đặt $S=x+y$ ; $P=xy$ $(S>0, P\neq 0)$
Lúc đó hệ phương trình được viết lại 
$\left\{\begin{matrix} S^2-2P=1-\frac{2P}{S}(1)\\ \sqrt{S}+y=x^2 (2) \end{matrix}\right.$
$(1)\Leftrightarrow S^3-2PS=S-2P$
$\Leftrightarrow (S-1)(S^2+S-2P)=0$
Mà $S^2+S-2P \geq 2P+S-2P=S> 0$ (Théo bất đẳng thức $AM-GM$)
Nên $S=1$
Với giá trị $S=1$ và $y=1-x$ thế vào $(2)$, ta sẽ tìm được nghiêm $(x;y)$ là $(1;0)$ và $(-2;3)$

Bình phương chuyển vế rồi dùng trung bình Cesaro

chỗ này ngược dấu rồi bạn

Ừ đúng rồi, mình nhầm tí, mình edit lại rồi 

ĐK: $x\geq 0$ 
$A=\frac{x+8}{\sqrt{x}+1}= \frac{(x-1)+9}{\sqrt{x}+1}=\sqrt{x}-1+\frac{9}{\sqrt{x}+1}$
$=(\sqrt{x}+1+\frac{9}{\sqrt{x}+1})-2\geq 2.\sqrt{\frac{(\sqrt{x}+1).9}{\sqrt{x}+1}}-2=4$ (BĐT $AM-GM$ )
Vậy GTNN của A là 4 khi x=4

Đặt $p=a+b+c$ , $q=ab+bc+ca$ và $r=a.b.c$,
Từ BĐT ban đầu ta quy đồng vế trái lên, sẽ đưa về được :
$\frac{p^2+q}{p.q-r}\leq \frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow 2p^2+2q\leq 3pq-3r$
$\Leftrightarrow p^2-2p-3r\geqslant 0$ ( Vì $p=q$ )
Ta có :$-r\geq -\frac{p.q}{9}=-\frac{p^2}{9}$ 
Nên $p^2-2p-3r\geq p^2-2p-\frac{p^2}{3}$
Ta cần chứng minh $p^2-2p-\frac{p^2}{3}\geq 0$ hay $p.(p-3)\geq 0$ (1)
Từ giả thiết $p=q \Rightarrow p=q\leq \frac{p^2}{3}$ 
$\Rightarrow p\geq 3$  (2) 
Từ (2) suy ra (1) đúng
Vậy BĐT được chứng minh