bestmather

Bạn thử lại xem đề đúng không nhé

trong sách mà bạn, có ghi là một trong những bất đẳng thức phụ phổ biến dùng trong thi đại học

Đề thi thử đại học mà vui vậy nhỉ

 

Ta chỉ cần chứng minh

\[a^4+b^4+c^4+(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2) \leqslant \frac{4}{3}(a^2+b^2+c^2)^2. \quad (1)\]

Do tính thuần nhất của bài toán nên ta có thể bỏ đi điều kiện $a^2+b^2+c^2=3$ và chuẩn hóa $a+b+c=3$ khi đó tồn tại số thực $t \geqslant 0$ sao cho $a^2+b^2+c^2=3+6t^2,$ dẫn đến $ab+bc+ca=3-3t^2.$ Bất đẳng thức $(1)$ trở thành

\[48t^4-33t^2+12-12abc \geqslant 0.\]

$Với phép đặt này ta có $abc \leqslant (1+2t)(1-t)^2,$ cho nên$

\[48t^4-33t^2+12-12abc \geqslant 48t^4-33t^2+12-12(1+2t)(1-t)^2 = 3t^2(4t-1)^2 \geqslant 0.\]

Từ đó dẫn đến kết luận giá trị lớn nhất cần tìm là $12$ đạt được chẳng hạn $a=b=c=1$ hoặc $a=\sqrt{2},b=c=\frac{1}{\sqrt{2}}$ cùng các hoán vị.

chỗ này là sao ạ ?!!!!

có đúng đâu bạn

HD: đặt t = ab+ bc+ca thì $ \frac{-3}{2} \le t \le 3 $.
Dùng HDT
$\sum a^4 + (a^2 +b^2 + c^2)(ab+bc+ca) = (a+b+c)^2(a^2+ b^2 + c^2 -ab - bc - ca) + 4abc(a+b+c)$
vận dụng $3abc(a+b+c) \le t^2 $ ta được hàm bậc 2 theo t là ra ngay.

Hàm này vẫn có giá trị lớn hơn, bạn kiểm tra lại 

Ta có BT= $\frac{2xy(xy+1)}{(1+x^2)(1+y^2)}+\frac{(x+y)(xy-1)}{(x+y)^2+(xy-1)^2}\leq \frac{2xy(xy+1)}{(1+xy)^2}+\frac{1}{2}\leq \frac{2xy}{1+xy}+\frac{1}{2};xét hàm f(t)=\frac{2t}{1+t}+\frac{1}{2}(t>1)$

cậu xét thử xem sao?