anhminhnam

Không hiểu sao không nhìn rõ hình, mình đăng lại đề cho các bạn. 

Giải khá dài mình sẽ tóm tắt:

Đầu tiên dùng quy nạp, cộng theo vế, hoặc đặt Vn vv đều có thể suy ra $U_{n}=\frac{n(n+1)}{2}$

Đặt $A_{n}=\frac{1}{U_{1}}+\frac{1}{U_{2}}+..+\frac{1}{U_{n}} => A_{n}=2(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=\frac{2n}{n+1}$

$S_{n}=\frac{1}{A_{1}}+\frac{1}{A_{2}}+..+\frac{1}{A_{n}}=1+\frac{3}{4}+\frac{2}{3}+...+\frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2}(n+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n})$

Suy ra $S_{2016}=1012,0931$ Cái này chắc phải dùng máy tính casio hoặc VinaCal, hẳn đề này bạn lấy trong đề thi MTBT.

b/$n^4+6n^3+11n^2+6n=n(n+1)(n+2)(n+3)$
Dễ thấy tích trên chia hết cho 3 và 4 vì tồn tại ít nhất một số hạng chia hết cho 3 và 1 số hạng chia hết cho 4 (nguyên tắc dirichlet)

Lại thấy

$n\vdots 2\Leftrightarrow n+2\vdots 2$ hoặc $n+1\vdots 2\Leftrightarrow n+3\vdots 2$

Vậy nên nếu có một số hạng chia hết 4 -> tồn tại thêm 1 số hạng chia hết cho 2

Suy ra tích trên chia hết cho 8 mà $(8,3)=1$ (nguyên tố cùng nhau) nên tích trên chia hết cho 24

c $2A=(a+b)^2+(2-a)^2+(2-b)^2+4024\geq \frac{4^2}{3}+4024\Rightarrow A\geq \frac{6044}{3}$ (Bđt bunhiacopxki)

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=\frac{2}{3}$

Bài 1 dùng đánh giá khá nhẹ nhàng: 

$(|x|\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x})^2\leq (x^2+1)(x+1+3-x)=4(x^2+1)$ (bđt Bunnhiacopxki)

Nếu x âm thì đẳng thức trên sẽ không xảy ra

Vì đẳng thức xảy ra nên $\frac{x+1}{x^2}=\frac{3-x}{1}\Leftrightarrow x=1;1+\sqrt{2}$ loại $1-\sqrt{2}<0$

Vậy phương trình có 2 nghiệm  $x=1;1+\sqrt{2}$

$B=\frac{\sqrt{2}-sinx-cosx}{sinx-cosx}=\frac{1-cos(x-\frac{\pi}{4})}{sin(x-\frac{\pi}{4})}= \frac{2sin^2(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{8})}{2sin(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{8})cos(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{8})}=tan(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{8})$

Câu C dễ thấy: 

$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+2cosx}}}=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{4cos^2\frac{x}{2}}}}=\sqrt{2+\sqrt{2+2cos\frac{x}{2}}}= \sqrt{2+\sqrt{4cos^2\frac{x}{4}}}= \sqrt{2+2cos\frac{x}{4}}= 2cos\frac{x}{8}$

Tiếp tục thực hiện ta có $C=2cos\frac{x}{2^n}$ với n là số căn thức

Câu D phân tích tử $sin4a−4sin3a+6sin2a−4sina=2sin2a(2cos^2a-1)-4(3sina-4sin^3a)-4sina+6sin2a= 2sin2a(2cos^2a-1)-16sinacos^2a+6sin2a=2sin2a(2cos^2a-1-4cosa+3)=4sin2a(cosa-1)^2 \Rightarrow D=4-4cosa$

2 câu còn lại mình giải sau....

Dễ thấy A>0 do điều kiện nên theo yêu cầu ta sẽ có A là một số tự nhiên

$A=\frac{x+3}{\sqrt{x}+1} =n\Leftrightarrow x-n\sqrt{x}+3-n=0$

Để tồn tại x PT trên cần có nghiệm nguyên dương tức là 

$\Delta \geq 0\Leftrightarrow n^2+4n-12\geq 0 \Rightarrow n\geq 2$ (loại $n\leq -6$ vì$ n>0$)

Và $\frac{c}{a}\geq 0\Leftrightarrow \frac{3-n}{1}\geq 0 \Leftrightarrow n\leq 3$

Chọn A=2 và A=3 giải được $x=1, x=0, x=9$

Mình vẫn chưa hiểu dòng thứ 4, bạn giải thích được không ?

Này nhé cosx sẽ khác 0 để tan x xác định,nên ta có thể chia cả 2 vế cho $cos^2x$ để còn 1 ẩn là $ tanx$ sau đó giải PT bậc ba thì : $(tanx-1)(tan^2x-3)=0$

Trong 3 số $a^2-1$ $b^2-1$ $c^2-1$ có ít nhất 2 số cùng dấu (Dirichlet)

Giả sử đó là $(a^2-1)(b^2-1)\geq 0\Leftrightarrow a^2b^2+1\geq a^2 +b^2$

Mà $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)= (a^2b^2+2a^2+2b^2+4)(c^2+2)\geq 3(a^2+b^2+1)(1+1+c^2)\geq 3(a+b+c)^2$ (Cauchy-Swarz)

$\geq 9(ab+bc+ca)$ ($(a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca)$ )

Suy ra $P\geq 9$ tại $a=b=c=1$

Phân tích $\sum \frac{1}{a^2-1}=1\Leftrightarrow \sum \frac{a-2}{a+1} \frac{a+2}{a-1}=0$ và $1-P=\sum \frac{a-2}{a+1}$

Giả sử $a\geq b\geq c$

$ \Rightarrow \frac{a-2}{a+1}\geq \frac{b-2}{b+1}\geq \frac{c-2}{c+1}$

$\frac{a+2}{a-1}\leq \frac{b+2}{a-1}\leq \frac{c+2}{a-1}$ 

Áp dụng BĐT Chebyshev cho 2 bộ ngược chiều ta có

$\sum \frac{a-2}{a+1} \frac{a+2}{a-1}=0\leq \frac {1}{3} (\sum \frac{a-2}{a+1})(\sum \frac{a+2}{a-1})=\frac {1}{3} (1-P)(\sum \frac{a+2}{a-1})$

Mà $\sum \frac{a+2}{a-1}>0 \Rightarrow P\leq 1$

Vậy GTLN P=1

$(tanx+1)sin^2x+cos2x+2=3(cosx+sinx)sinx$

$\Leftrightarrow (tanx+1)sin^2x+2cos^2x+1=3sinxcosx+3sin^2x$

$\Leftrightarrow (tanx-1)sin^2x-3cosxsinx+3cosx^2=0$

$ \Leftrightarrow (tanx-1)tan^2x-3tanx+3=0$

$ \Leftrightarrow tan^3x -tan^2x-3tanx+3=0$

$ \Leftrightarrow tanx=1$ hoặc $tanx=\pm \sqrt{3}$

Vậy có 3 họ nghiệm $x=\frac{\pi }{4}+n\pi$ $x=\frac{\pi}{3}+n\pi$ $x=\frac{-\pi}{3} +n\pi$

Câu 2 b không khó $x^5+x^4+1=p^2 \Leftrightarrow (x^2+x+1) (x^3-x+1) = p^2$

Vì p là số nguyên tố, x nguyên dương nên chỉ có 3 TH

Xét $x^2+x+1=x^3-x+1=p$ giải được 1 nghiệm nguyên dương $x=2$ thế vào $p=7$ thoả

Xét $x^3-x+1=1$ được $x=1$ suy ra $p=\sqrt{3}$ loại

Xét $x^2+x+1=1$ không có nghiệm dương.

Vậy có một cặp (x;p) =(2;7)

Câu 1: $\frac{a}{a+1}+\sqrt{1+a^2+\frac{a^2}{(a+1)^2}}=\frac{a}{a+1}+\sqrt{\frac{(a^2+a+1)^2}{(a+1)^2}}=a+1$

P(2016)=2017

Câu 2: a)Chú ý xét $k=1$ thì $x=\frac{-1}{4}$

Với k khác 1 Để pt bậc 2 có nghiệm

Thì $0\leq k\leq \frac{7}{3}$

Do đó $x=\frac{3-k\pm \sqrt{7-3k}}{k-1}$ 

Với k=0 $x=-3\pm\sqrt{7}$ Với k=2 $x=0$ hoặc $x=2$

Câu a)

$\angle KEA=180-\angle EAG=\angle BAC; AB=EA;EK=AC \Leftrightarrow \Delta AEK= \Delta BAC$ (c,.g.c) =>KH=BC

Kẻ AH là đường cao ứng BC. Ta có $\angle KAH=\angle EAK+90+\angle BAH= \angle B+90+90-\angle B=180$

suy ra K,A, H thẳng hàng => KH vuông góc BC 

Vậy KH vừa vuông góc vừa = BC (đpcm)

1b/ nhìn thú vị

$P=\frac{3(x^2-y^2)(y^2-z^2)(z^2-x^2)}{(x-y)(y-z)(z-x)}=3(x+y)(y+z)(z+x)$ là một số nguyên chia hết 3

theo nguyên lí dirichle thì trong 3 số nguyên x,y,z sẽ có 2 số cùng chẵn hoặc cùng lẻ nên trong x+y  y+z z+x tồn tại nhóm chia hết cho 2 suy ra $P$ chia hết cho 2

Vậy P chia hết cho 6

Câu 2 a bác nào chỉ cách giải ngắn xem, chứ thử 8 trường hợp của x nhác quá =)))