bạn Dark Magician 2k2 hình như vẫn sai.
Đã tìm ra cách giải :3
$P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+2$
$\Leftrightarrow P=3[(x^{2}+y^{2})^{2}-x^{2}y^{2}]-2(x^{2}+y^{2})+2$
Áp dụng bđt Cauchy ngược ta được:
$P\geq 3[(x^{2}+y^{2})^{2}-(\frac{x^{2}+y^{2}}{2})^{2}]-2(x^{2}+y^{2})+2$
Đặt $x^{2}+y^{2}=t$
Ta có: $\left\{\begin{matrix}(x+y)^{3}+4xy\geq 2\\ (x+y)^{2}-4xy\geq 0\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow (x+y)^{3}+(x+y)^{2}\geq 2$
$\Leftrightarrow (x+y-1)[(x+y)^{2}+2(x+y)+2]\geq 0$
$\Leftrightarrow x+y\geq 1$
Áp dụng bđt Bu-nhi-a-cốp-xki ta được:
$x^{2}+y^{2}\geq \frac{(x+y)^{2}}{2}\geq \frac{1}{2}$
$\Rightarrow t\geq \frac{1}{2}$
Xét: $f(t)=\frac{9}{4}t^{2}-2t+1$ $\forall t\geq \frac{1}{2}$
Lập bảng biến thiên rồi tìm Min.
ĐS: $minP=\frac{9}{16}$ tại $x=y=\frac{1}{2}$