ko chỉ là kết nghĩa, nhỉ
chỉ là kết nghĩa
17-09-2013 - 22:45
ko chỉ là kết nghĩa, nhỉ
chỉ là kết nghĩa
15-09-2013 - 17:07
04-08-2013 - 22:51
1. Tên em: Đinh Minh Hà - MSS 20
2.Lớp 9A1 trường THCS Lâm Thao, tỉnh Phú Thọ
3. Đề : Giải hệ phương trình sau :
$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & & \end{matrix}\right.(1)$
4. Đáp án :
Ta có :
$(1)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left (4x^{2}-20x^{2}+24x^{2} \right )+\left (y^{2}+5y^{2}+6y^{2} \right )+\left (4xy-24xy \right )=0 & & \\ 4x^{2}-y^{2}+1=(6x-3y) & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left ( 4x^{2}+y^{2}+4xy \right )-\left ( 20x^{2}-5y^{2} \right )+24x^{2}+6y^{2}-24xy=0 & & \\ (2x-y)(2x+y)+1=3(2x-y) & & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left ( 2x+y \right )^{2}-5\left ( 4x^{2}-y^{2} \right )+6\left ( 2x-y \right )^{2}=0 & & \\ (2x-y)(2x+y)+1=3(2x-y) & & \end{matrix}\right.(2)$
Nếu $2x-y=0$ PT vô nghiệm
Nếu $2x+y=0$ PT vô nghiệm
Từ $(2)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \left ( 2x+y \right )^{2}-5\left ( 2x-y \right )\left ( 2x+y \right )+6\left ( 2x-y \right )^{2}=0 & & \\ (2x+y)+\frac{1}{2x-y}=3 & & \end{matrix}\right.$
Đặt $2x-y=a,2x+y=b$
Ta có HPT mới là :
$\left\{\begin{matrix} b^{2}-5ab+6a^{2}=0 & & \\ b+\frac{1}{a}=3 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b^{2}-5ab+6a^{2}=0 & & \\ ab+1=3a & & \end{matrix}\right.(3)$
Không mất tính tổng quát. Giả sử $a=tb$
Ta được hệ phương trình mới là $\left\{\begin{matrix} b^{2}-5tb^{2}+6t^{2}b^{2}=0 & & \\ tb^{2}+1=3bt & & \end{matrix}\right. \Rightarrow 1-5t+6t^{2}=0$
$\Rightarrow t=\frac{1}{2}$$\Rightarrow a=\frac{1}{2}b$ Thay vào HPT (3) ta có : $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b^{2}-\frac{5}{2}b^{2}+\frac{3a}{2}^{2}=0 & & \\ \frac{1}{2}b^{2}+1=\frac{3b}{2} & & \end{matrix}\right.\Rightarrow b^{2}+2-3b=0\Rightarrow (b-1)(b-2)=0$
Nếu $b=1\Rightarrow a=\frac{1}{2}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2x+y=1 & & \\ 2x-y=\frac{1}{2} & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{3}{8} & & \\ y=\frac{1}{4} & & \end{matrix}\right.$
Nếu $b=2\Rightarrow a=1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2x+y=2 & & \\ 2x-y=1 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{3}{4} & & \\ y=\frac{1}{2} & & \end{matrix}\right.$
Vậy $S=\left \{ \left ( \frac{3}{8},\frac{1}{4} \right );\left ( \frac{3}{4},\frac{1}{2} \right ) \right \}$
04-08-2013 - 10:29
1. Họ tên: Đinh Minh Hà- MSS 20
2,Lớp 9A1, trường THCS Lâm Thao, huyện Lâm Thao , tỉnh Phú Thọ
3,Giải hệ phương trình sau :
$\left\{\begin{matrix} x^{2}+8y^{2}=12 & & \\ x^{3}+2xy^{2}+12y=0 & & \end{matrix}\right.$
4. Đáp án
Ta có HPT :
$\left\{\begin{matrix} x^{2}+8y^{2}=12 & & \\ x^{3}+2xy^{2}+12y=0 & & \end{matrix}\right.$
$+)$Nếu $xy=0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}+8y^{2}=12 & & \\ x^{3}=0 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=0 & & \\ y=\sqrt{\frac{3}{2}} & & \end{matrix}\right.$
$+)$Nếu $xy\neq 0$
Ta có :
$\left\{\begin{matrix} x^{2}+8y^{2}=12(1) & & \\ x^{3}+2xy^{2}+12y=0(2) & & \end{matrix}\right.$
Nhân cả 2 vế của phương trình (2) với $x$
Ta có HPT mới là :
$\left\{\begin{matrix} x^{2}+8y^{2}=12 & & \\ x^{4}+2(xy)^{2}+12xy=0 & & \end{matrix}\right.(3)$
Vì $xy\neq 0$. Không mất tính tổng quát ta đặt $x=ty$ với $t\neq 0$
Thay $x=ty$ vào $(3)$ ta được HPT mới là :
$\left\{\begin{matrix} (ty)^{2}+8y^{2}=12 & & \\ (ty)^{4}+2(y^{2}t)^{2}+12ty^{2}=0 & & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (ty)^{2}+8y^{2}=12 & & \\ (ty)^{4}+2(y^{2}t)^{2}=-12ty^{2}(4) & & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (ty)^{2}+8y^{2}=12 & & \\ t^{3}y^{2}+2y^{2}t=-12 & & \end{matrix}\right.$ Chia cả 2 vế của phương trình (4) cho $ty^{2}$
$\Rightarrow \frac{(ty)^{2}+8y^{2}}{ t^{3}y^{2}+2y^{2}t}=-1\Leftrightarrow \frac{t^{2}+8}{t^{3}+2t}=-1$
$\Rightarrow t^{2}+8+t^{3}+2t=0\Leftrightarrow \left ( t+2 \right )\left ( t^{2}+4-2t+t \right )=0\Leftrightarrow \left ( t+2 \right )\left ( t^{4}+4-t \right )=0$
$\Rightarrow t^{2}+8+t^{3}+2t=0\Leftrightarrow \left ( t+2 \right )\left ( t^{2}+4-2t+t \right )=0\Leftrightarrow \left ( t+2 \right )\left ( t^{4}+4-t \right )=0$
Vì $t^{2}+4-t>0$$\Rightarrow t+2=0\Rightarrow t=-2\Rightarrow x=-2y$
Thay $x=-2y$ vào GT của đề bài. $\left\{\begin{matrix} x^{2}+8y^{2}=12 & & \\ x^{3}+2xy^{2}+12y=0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 4y^{2}+8y^{2}=12 & & \\ -8y^{3}+12y-4y^{3}=0 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow y^{2}=1\Rightarrow \begin{bmatrix} y=1,x=-2 & & \\ y=-1,x=2 & & \end{bmatrix}$
Vậy $(x,y)\in \left \{ (-2,1);(2;-1);\left ( 0;\sqrt{\frac{3}{2}} \right )\right \}$ thì thỏa mãn được hệ phương trình
P/s: Em không tìm ký hiệu móc vuông(dấu hoặc) nên em thay bằng ký hiệu khác . Không biết BQT chấp nhận được không, Nếu không được thì giúp em sửa những chô sai ạ .
Em cảm ơn
02-08-2013 - 22:32
1. Họ và tên thật: Đinh Minh Hà
2. Đang học lớp 9A1, trường THCS Lâm Thao, huyện Lâm Thao, tỉnh Phú Thọ
3. Đề : Tìm các sô nguyên dương $a$ và $b$ $a\geq b$ sao cho các nghiệm của phương trình sau là sô nguyên : $x^{2}-abx+(a+b)=0$
4. Đáp án
Gọi $m,n$ là nghiệm nguyên của phương trình : $x^{2}-abx+(a+b)=0 (1)$
giả sử $m\geq n$
Áp dụng định lý Vi-et :
Ta có : $\left\{\begin{matrix} m+n=ab & & \\ mn=a+b & & \end{matrix}\right.(2)$
Do $a,b$ là các sô nguyên dương nên $m,n$ là các sô nguyên dương.
Trước hết ta sẽ chứng minh bồ để sau :
$+)$ Nếu 2 sô nguyên lớn hơn 2 thì tích của chúng lớn hơn tổng của chúng .
Giả sử $a>2,b>2$$\Rightarrow ab>2b,ab>2a\Rightarrow 2ab>2(a+b)\Rightarrow ab>a+b$
Vậy $ab>a+b$
Áp dụng bổ đề trên với 4 số : $a,b,m,n$ thì ta có : $ab< a+b,mn< m+n\Rightarrow ab+mn< m+n+a+b$ vô lý.
Trái với điều (2)
Vậy trong 4 số $a,b,m,n$ có 1 số không lớn quá 2
Không mất tính tổng quát giả sử $n\leq 2$
$+)$ Nếu $n=1$
Từ $(2)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} ab=m+1 & & \\ a+b=m & & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow ab-a-b=1\Leftrightarrow (a-1)(b-1)=2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-1=2 & & \\ b-1=1 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=3 & & \\ b=2 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow m=5$
$+)$ Nếu $n=2$
Từ $(2)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} ab=m+2 & & \\ a+b=2m & & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow 2ab-a-b=4\Rightarrow 4ab-2a-2b=8\Leftrightarrow (2a-1)(2b-1)=9$
Như vậy ta có 2 trường hợp :
$\left\{\begin{matrix} 2a-1=9 & & \\ 2b-1=1 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=5 & & \\ b=1 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow m=3$
$\left\{\begin{matrix} 2a-1=3 & & \\ 2b-1=3 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=2 & & \\ b=2 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow m=2$
Kết luận : Vậy $(a,b)\in \left \{ (2;2),(5;1),(3;2) \right \}$ thì phương trình (1) có 2 nghiệm nguyên
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học