Valar Morghulis

Đây là 4 dạng trung bình của 2 số $x,y$: trung bình cộng (arithmetic mean), trung bình nhân (geometric mean), trung bình điều hoà (harmonic mean), giá trị hiệu dụng (quadratic mean) nhưng tất cả đều tuân theo dạng trung bình tổng quát (generalized mean), các bạn có thể tham khảo tại đây.

 

Vì vậy, nếu chọn $x=y=\alpha, \alpha > 0$ thì ta có:

 

$\frac {x+y} {2}=\frac {\alpha+\alpha} {2}=\alpha$

 

$\sqrt {xy} =\sqrt{\alpha^{2}}=\alpha$

 

$\frac {2xy} {x+y} = \frac {2\alpha^2} {2\alpha} = \alpha$

 

$\sqrt{\frac {x^{2} + y^{2}} {2}} = \sqrt{\frac {2\alpha^{2}} {2}} = \alpha$

 

Rõ ràng khi $x=y$ thì các trung bình của chúng đều bằng nhau.

 

Vậy $\alpha+\alpha+\alpha+\alpha=66 \Leftrightarrow\alpha=\frac{66}{4}$

 

Thử lại thấy đúng, vậy $\exists x=y=\frac{66}{4}$ thoả yêu cầu đề bài

1.Tên: Lê Huỳnh Minh Khoa

2.Lớp: 11A1 Trường Phổ Thông Năng Khiếu TP.HCM

3.Đề:

Cho một bảng 3x3 ô vuông với mỗi ô được điền bởi các số nguyên không âm không nhất thiết phải phân biệt sao cho tổng của mỗi hàng và mỗi cột của hình vuông là 7. Hỏi có bao nhiêu cách khác nhau để điền các ô vuông.

4.Đáp án:

Ta xét bảng 2x2 ô vuông nằm ở góc bên trái trên cùng của hình.

Giả sử chúng được điền: $\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}$

Thì toàn hình 3x3 sẽ được điền theo dạng $\begin{pmatrix}a & b & 7-a-b\\ c & d & 7-c-d\\ 7-a-c & 7-b-d & a+b+c+d-7\end{pmatrix}$

Vậy điều kiện cần và đủ của $a, b, c, d$ sẽ là:

$\left\{\begin{matrix}a, b, c, d\in \mathbb{Z}^{+}\\ 7-a-b\geq 0\\ 7-c-d\geq 0\\ 7-a-c\geq 0\\ 7-b-d\geq 0\\ a+b+c+d-7\geq 0 & \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a, b, c ,d \in \mathbb{Z}^{+}\ (1)\\ a+b\leq 7\ (2)\\ c+d\leq 7\ (3)\\ a+c\leq 7\ (4)\\ b+d\leq 7\ (5)\\ a+b+c+d\geq 7\ (6)\end{matrix}\right.$

Đầu tiên ta tìm các số thoả 5 điều kiện đầu.

Gọi $max(a,d)=x, x\in [0;7]$ và $x$ nguyên. Với mỗi $x$, ta cho nó bằng $a$ thì $d$ sẽ có $x$ trường hợp, vậy tổng hợp sẽ có $2x+1$ trường hợp $a,d$( vì trường hợp $a=d=x$ xảy ra 2 lần).

Với$(2), (5)$ sẽ có $8-x$ trường hợp chọn $b$ từ $0$ tới $7-x$. Tương tự với $(3),(4)$ ta cũng có $8-x$ trường hợp chọn $c$.

Vậy số các bộ $(a,b,c,d)$ thoả 5 điều kiện đầu sẽ là: $\sum_{x=0}^{7}(2x+1)(8-x)^{2}=876$

Cuối cùng ta loại số các trường hợp không thoả điều kiện $(6)$ hay $a+b+c+d\leq 6$. Gọi $e$ là số để cho $a+b+c+d+e=6$. Bài toán trở thành giải phương trình nghiệm nguyên $a+b+c+d+e=6$. Số nghiệm của phương trình là $\binom{10}{4}=210$

Kết luận: Số trường hợp có thể điền là: $876-210=666$

1. Tên: Lê Huỳnh Minh Khoa

2. Lớp: 11A1 Trường: Phổ Thông Năng Khiếu TP.HCM

3. Đề: Giải phương trình: $x=\frac{2013- \sqrt[2013]{2012x-2011}}{2012}$

 

4. Đáp án: Phương trình tương đương với: $2012x-2011 = 2-\sqrt[2013]{2012x-2011}$

 

Đặt $\sqrt[2013]{2012x-2011} = a$ thì phương trình trở thành $a^{2013}+a-2=0$. Vì $1+1-2 =0$ nên có $1$ là nghiệm.

 

Nếu $a>1$ thì $a^{2013} + a>1+1=2$. Không có nghiệm thực.

Nếu $a<1$ thì $a^{2013} + a<1+1=2$. Không có nghiệm thực.

 

Vậy chỉ có một nghiệm thực là $x=1$

 

 

BTC KHÔNG CHẤP NHẬN ĐỀ THI NÀY. 

LÍ DO: MHS là cuộc thi không dành cho học sinh lớp năng khiếu

T/M BTC: E.Galois

 

1. Tên: Lê Huỳnh Minh Khoa

2. Lớp: 11A1 Trường: Phổ Thông Năng Khiếu, TP.HCM.

3. Đề: Giải phương trình: $tan^{2}x = \frac{1-cos^{3}x} {1-sin^{3}x}$

4. Đáp án: Điều kiện để pt có nghĩa:

$\left\{\begin{matrix}cosx \neq 0 & \\ sinx \neq 1 & \\ sinx \neq -1 & (do\ cos^{2}x=1-sin^{2}x)\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x \neq \frac {\pi} {2} + l\pi ( l \in \mathbb{Z} ) & \\ x \neq \frac {-\pi} {2} + l2\pi ( l \in \mathbb{Z} )& \end{matrix}\right.$

 

Với ĐK trên thì pt tương đương với:

$\frac {1-cos^{2}x} {1-sin^{2}x} = \frac{1-cos^{3}x} {1-sin^{3}x}$$\Leftrightarrow (\frac {1-cosx} {1-sinx})(\frac {1+cosx} {1+sinx} - \frac {1+cosx +cos^{2}x} {1+sinx+sin^{2}x})=0$

$\Leftrightarrow \frac {1-cosx} {1-sinx} =0\ (1) \vee \frac {1+cosx} {1+sinx} - \frac {1+cosx +cos^{2}x} {1+sinx+sin^{2}x} =0\ (2)$

 

Giải $(1)$ ta có: $cosx=1 \Leftrightarrow x=k2\pi (k \in \mathbb{Z})$

 

Giải $(2)$ ta có:$(2) \Leftrightarrow \frac {1+cosx +cos^{2}x} {1+sinx+sin^{2}x}=\frac {1+cosx} {1+sinx}=\frac {cos^{2}x} {sin^{2}x}$

 

$\Leftrightarrow sin^{2}x + sin^{2}xcosx = cos^{2}x +sinxcos^{2}x $

$\Leftrightarrow (sinx-cosx)(sinx+cosx+sinxcosx)=0$

$\Leftrightarrow sinx=cosx \vee sinx+cosx+sinxcosx=0$

$\Leftrightarrow sinx=sin(\frac {\pi} {2} -x) \vee t + \frac {t^{2}-1} {2} =0 ( với\ t= sinx+cosx\ và\ \left | t \right | \leq  \sqrt 2)$

$\Leftrightarrow x=\frac {\pi} {4} +k\pi \vee t= -1+\sqrt2\ (3)$

 

Giải $(3)$ ta có: $\sqrt2 sin(x+\frac {\pi} {4})=-1\sqrt2$

 

Vậy kết hợp các kết quả nghiệm cùng với điều kiện xác định ta có nghiêm của pt là:

$x=k2\pi$

$x=\frac {\pi}{4} +k\pi$

$x=\frac {\pi}{4} + arccos( \frac {-1+\sqrt2}{\sqrt2}) + k2\pi$

$x=\frac {\pi}{4} - arccos( \frac {-1+\sqrt2}{\sqrt2}) + k2\pi\ với\ k \in \mathbb{Z}$

Mình học ở PTNK ở TP Hồ Chí Minh