Nguyen Chi Thanh 3003

Giải hệ phương trình 

 

8) $\left\{\begin{matrix}4x^2+2xy=3 & \\ y^2+2xy=-2 & \end{matrix}\right.$

 

Hệ tương đương với

$\left\{\begin{matrix} 8x^2+4xy=6 & & \\ 3y^2+6xy=-6 & & \end{matrix}\right.$

Cộng theo vế 2 phương trình ta có 

$8x^2+10xy+3y^2=0 \Leftrightarrow (2x+y)(4x+3y)=0$

Đến đây thì dễ rồi

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} 8(x^2+y^2)+4xy=13-\frac{5}{(x+y)^2} & \\ \frac{1}{x+y}=1-2x & \end{matrix}\right.$

Phương trình thứ nhất đưa về thành

$5(x^2+y^2)+10xy+\frac{5}{(x+y)^2}+3(x^2+y^2)-6xy=13$

$\Leftrightarrow 5(x+y)^2+\frac{5}{(x+y)^2}+3(x-y)^2=13$

$\Leftrightarrow 5\left ( x+y+\frac{1}{x+y} \right )^2+3(x-y)^2=23$

Phương trình thứ đưa về thành

$x+y+\frac{1}{x+y}+(x-y)=1$

Đặt $x+y+\frac{1}{x+y}=a$; $x-y=b$

Ta có hệ 

$\left\{\begin{matrix} 5a^2+3b^2=23 & & \\ a+b=1 & & \end{matrix}\right.$

ĐOạn này có thể dùng phương pháp thế

giải phương trình 

1. $6^t+3^t=2^t$

 

Chia 2 vế cho $2^t \neq 0$ ta có 

$\left ( 3 \right )^t+\left ( \frac{3}{2} \right )^t - 1=0$

Có thể dùng đạo hàm hoặc biện luận rằng lấy $t_{1} > t_{2}$ rồi chứng minh hàm đồng biến trên R

Nên phương trình có nhiều nhất 1 nghiệm. Ta thấy $t=-1$ thỏa mãn nên $t=1$ là nghiệm duy nhất

$4x^3 + x - (x+1)\sqrt{2x+1}= 0$

Nhân 2 với vế pt với $2$ rồi đưa về

Cho a+b+c=3. tìm GTNN của biểu thức P = $\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}+ \sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}+\sqrt{z^{2}+zx+x^{2}}$

Sao tự dưng đằng trước là $a,b,c$ đằng sau lại là $x,y,z$ vậy 

ta có $x^2+xy+y^2=\frac{3}{4}(x+y)^2+\frac{1}{4}(x-y)^2$

$\Rightarrow P=\sqrt{\frac{3}{4}(x+y)^2+\frac{1}{4}(x-y)^2}+\sqrt{\frac{3}{4}(y+z)^2+\frac{1}{4}(y-z)^2}+\sqrt{\frac{3}{4}(x+z)^2+\frac{1}{4}(z-x)^2}$

Theo $Minkowxki$

$P\geqslant \sqrt{(\sqrt{3}(x+y+z))^2}=3\sqrt{3}$

Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$