Bạn ghi đề sai rồi, đề đúng phải là chứng minh $DI$ đi qua chân đường đối trung của tam giác $ABC$ kẻ từ $A$ là $G.$ Mình xin đưa ra chứng minh như sau:
Tiếp tuyến tại $B,C$ của $(ABC)$ cắt nhau ở $X,BC$ cắt $AD$ ở $Y.$ Dễ thấy $G$ chính là giao điểm của $BC$ và $AX.$ Ta cần chứng minh $D,I,G$ thẳng hàng.
Ta có : $D,I,G$ thẳng hàng $\Leftrightarrow (YGBC) = (YDFE)$ (chiếu xuyên tâm $I$ ) $\Leftrightarrow (YAEF) = (YDFE)$ (do $(YGBC)=(YAEF)$ theo phép chiếu xuyên tâm $X$ )
$\Leftrightarrow \frac{\overline{YE}}{\overline{YF}}:\frac{\overline{AE}}{\overline{AF}}=\frac{\overline{YF}}{\overline{YE}}:\frac{\overline{DF}}{\overline{DE}} \Leftrightarrow \frac{\overline{YE}^{2}}{\overline{YF}^{2}}=\frac{\overline{AE}.\overline{DE}}{\overline{AF}.\overline{DF}} \Leftrightarrow \frac{\overline{EY}^{2}}{\overline{FY}^{2}}=\frac{\overline{EA}.\overline{ED}}{\overline{FA}.\overline{FD}}. (1)$
Chú ý theo $Menelaus$ thì $\frac{YE}{YF}.\frac{FC}{CX}\frac{XB}{BE}=1,$ mà $BX=CX$ nên suy ra $\frac{YE}{YF}=\frac{BE}{CF}.$ Lại theo tính chất phương tích, $EB^{2} = EA.ED$ và $FC^{2}=FA.FD$ nên ta dễ dàng suy ra $(1)$ đúng.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Tam giác $ABC$ đều.