Đến nội dung

shinichikudo201

shinichikudo201

Đăng ký: 03-07-2013
Offline Đăng nhập: 29-09-2016 - 19:57
****-

Trong chủ đề: Chứng minh $DI$ đi qua trung điểm $G$ của $BC$

31-05-2016 - 15:22

Bạn ghi đề sai rồi, đề đúng phải là chứng minh $DI$ đi qua chân đường đối trung của tam giác $ABC$ kẻ từ $A$ là $G.$ Mình xin đưa ra chứng minh như sau: 

 

Tiếp tuyến tại $B,C$ của $(ABC)$ cắt nhau ở $X,BC$ cắt $AD$ ở $Y.$ Dễ thấy $G$ chính là giao điểm của $BC$ và $AX.$ Ta cần chứng minh $D,I,G$ thẳng hàng.

Ta có :  $D,I,G$ thẳng hàng $\Leftrightarrow (YGBC) = (YDFE)$ (chiếu xuyên tâm $I$ ) $\Leftrightarrow (YAEF) = (YDFE)$ (do $(YGBC)=(YAEF)$ theo phép chiếu xuyên tâm $X$ )

$\Leftrightarrow \frac{\overline{YE}}{\overline{YF}}:\frac{\overline{AE}}{\overline{AF}}=\frac{\overline{YF}}{\overline{YE}}:\frac{\overline{DF}}{\overline{DE}} \Leftrightarrow \frac{\overline{YE}^{2}}{\overline{YF}^{2}}=\frac{\overline{AE}.\overline{DE}}{\overline{AF}.\overline{DF}} \Leftrightarrow \frac{\overline{EY}^{2}}{\overline{FY}^{2}}=\frac{\overline{EA}.\overline{ED}}{\overline{FA}.\overline{FD}}. (1)$

Chú ý theo $Menelaus$ thì $\frac{YE}{YF}.\frac{FC}{CX}\frac{XB}{BE}=1,$ mà $BX=CX$ nên suy ra $\frac{YE}{YF}=\frac{BE}{CF}.$ Lại theo tính chất phương tích, $EB^{2} = EA.ED$ và $FC^{2}=FA.FD$ nên ta dễ dàng suy ra $(1)$ đúng.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Tam giác $ABC$ đều.


Trong chủ đề: Mọi số nguyên đều có thể biểu diễn được dưới dạng tổng của một hay một số...

02-12-2015 - 19:16

Định lý Hilbert Waring là gì vậy, bạn có thể nói rõ hơn được không?

Thực chất tên nó là 'bài toán của Waring', được chứng minh bởi  Hilbert nên bạn ấy gọi là 'định lý Hilbert-Waring' thôi bạn à :)


Trong chủ đề: Tìm giá trị nhỏ nhất của $S=\sum \frac{1}{a...

22-10-2015 - 21:28

Giá trị nhỏ nhất mà bạn

 

Cho a,b,c>0 thỏa mãn ab+bc+ca=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của $S=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}+1}$

Có lẽ bài này không thể tìm được GTNN.


Trong chủ đề: $P=x\sqrt{6-x}+(5-x)\sqrt{x+1}$

22-10-2015 - 20:46

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=x\sqrt{6-x}+(5-x)\sqrt{x+1}$, với $0\leq x\leq 5$.

(Trích đề thi HSG quận 1 TPHCM năm 2015-2016)

Đặt $\left\{\begin{matrix} x=a & \\ 5-x=b& \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=5;a;b\geq 0 & \\ P=a\sqrt{b+1}+b\sqrt{a+1}& \end{matrix}\right.$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$P^2= (\sqrt{a}.\sqrt{a(b+1)}+\sqrt{b}.\sqrt{b(a+1)})^{2}\leq (a+b)[a(b+1)+b(a+1)]= 5(2ab+5)$

ngoài ra với $2ab\leq 2(\frac{a+b}{2})^2= \frac{25}{2}$ ta suy ra được $max P=\frac{5\sqrt{14}}{2}$ đạt được tại $a=b=\frac{5}{2}$


Trong chủ đề: Kí hiệu $\parallel$ trong số học

29-08-2015 - 20:46

thì mình không biết nhung kí hiệu này theo mình là song song

Song song là kí hiệu hình học bạn nhé, cái kí hiệu này là số học, trong ví dụ đó hình như nó có nghĩa là  k là số lớn nhất thỏa mã tính chất $3^k$ chia hết $n$.