ngoctruong236

Bài này khá dài (hình hơi lớn nên để vào spoiler), nói chung là làm theo các ý sau:

Spoiler

Ảnh chụp màn hình_2014-02-09_160822.png

Kí hiệu lại điểm $(X,Y,Z) \equiv (D,E,F) ; P \equiv X$

Gọi giao điểm $(AXD), (BXE), (CXF)$ với $(O)$ lần lượt là $P,Q,R$

$AP, BQ, CR, (O)$ cắt $\overline{D,E,F}$ lần lượt tại $D_0, E_0, F_0, U, V$
Chú ý rằng $(D,D_0,U,V) = (E,E_0,U,V) = (F,F_0,U,V) = -1$
Từ đó có $AP, BQ, CR$ đồng quy tại $Y$

$X$ và $Y$ có cùng phương tích với 3 đường tròn nên ta có điều phải chứng minh

Tôi dùng cách tỉ số phương tích với meneleuyt

uk đúng rồi@@

Đầu tiên,ta sẽ CM:$l_{a}+l_{b}+l_{c}\leq p\sqrt{3}$

Gọi $R$ là bán kinh đường tròn ngoại tiếp $\Delta AKM,BLK,CML$.

Ta có: $KL=2RsinB,\; LM=2RsinC,\; MK=2RsinA$

$\Rightarrow \Delta ABC\sim \Delta KLM$

và $S_{AKM}=S_{BKL}=S_{CLM}=\frac{2}{9}S_{ABC}$

$\Rightarrow KM=\frac{1}{\sqrt{3}}a.$

Áp dụng định lí hàm số cos, ta có:  $a^2=b^2+c^2-2bccosA$

$\Rightarrow \frac{1}{3}a^2= \frac{4}{9}b^2+\frac{1}{9}c^2-2.\frac{2}{3}.\frac{1}{3}cosA$

$\Rightarrow a^2+c^2=2b^2.$

Bằng cách tương tự $\Rightarrow  b^2+c^2=2a^2,a^2+b^2=2c^2$

$\Rightarrow a=b=c$

$\Rightarrow \Delta ABC$ là tam giác đều (đpcm)

$\;Goi \;MN\cap BC=K. \;Ta \se \; CM:\;E,F,K \;thang \; hang.\; That \;vay \; :\;Ap \;dung \; dly\; Meneleuyt\; cho\;tam \;giac \;XBC \;voi \;(M,N,K) \;ta \;co: \frac{\overline{KC}}{\overline{KB}}.\frac{\overline{MB}}{\overline{MX}}.\frac{\overline{NX}}{\overline{NC}}=1\; . Mat\;khac \;duong \;tron \;noi \; tiep\;\Delta XBC \;tx \;BC \;tai \;D\rightarrow \;\frac{\overline{DB}}{\overline{DC}}.\frac{\overline{MB}}{\overline{MX}}.\frac{\overline{NX}}{\overline{NC}}=-1 \; va\;trong \; tam\; giac\;ABC \;co \;\frac{\overline{DB}}{\overline{DC}}.\frac{\overline{FB}}{\overline{FA}} .\frac{\overline{EA}}{\overline{EC}}=-1\rightarrow \;theo \; \;Meneleuyt \; thi\;E,F,K \; thang\; hang\; Tu \;day, \;ta \;co \;KD \; la\;tiep \;tuyen \;chung \; cua\;(ABC) \;va \;(XBC) \rightarrow KD^2=\overline{KM}.\overline{KN}=\overline{KF}.\overline{KE}\rightarrow \;4 \;diem \; \;E,F,M,N \;dong \;vien \; \rightarrow dpcm$