Near Ryuzaki

IMG_20161026_115905.jpg

Đề căng :'(
Hóng lời giải câu BĐT

Lời giải câu bất. Ta có thể thấy rằng việc đưa vế sau -2016z vào bài toán chỉ để cho vui chứ chẳng có ý nghĩa gì cả vì không có mối liên hệ nào giữa $z$ với $x,y$

Cho đó chỉ cần $z\leq 1$ là $-2016z\geq -2016$

Vì vậy ta chỉ cần xét giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=xy(x^4+y^4)+\frac{6}{x^2+y^2}-3(x+y)$

Ta đoán được dấu bằng xảy ra khi $x=y=1$ nên $-3(x+y)\geq -6$ nên ta cũng chỉ cần xét giá trị nhỏ nhất của

$P=xy(x^4+y^4)+\frac{6}{x^2+y^2}\geq \frac{xy(x^2+y^2)^2}{2}+\frac{6}{x^2+y^2}=\frac{xy(x^2+y^2)^2}{2}+\frac{4}{x^2+y^2}+\frac{4}{x^2+y^2}-\frac{2}{x^2+y^2}\geq 6\sqrt[3]{xy}-\frac{1}{xy}$

Tới đây xét hàm là xong.

Mình ít có time lên diễn đàn nhưng xin phép mọi người cho mình được bầu cử Zaraki

1. Tên người bầu cử : Zaraki

2. Mình đề cử Zaraki vì bạn ấy hoạt động rất sôi nổi , thực sự là người có tâm huyết , điều đó biểu hiện rõ qua việc bạn là một trong những người đầu tiên phát động cuộc thi VMEO cũng như trong việc làm các chuyên đề. Ngoài ra bạn ấy còn tổng hợp các đề thi Olympic các tỉnh các năm, lập topic ''Mỗi tuần một bài toán'' rất hay,...

3. Chính vì những thành thích trên mà theo khách quan mình thấy Zaraki xứng đáng được coi là một trong những thành viên ấn tượng nhất năm 2015 của VMF.

 Ngày 2:

 

 Bài 1 ( 5 điểm ) Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn :

$$f(x^4+f(y))=y+f^4(x)~~\forall x,y\in \mathbb{R}$$

 Bài 1. Ta có : $$f(x^4+f(y))=y+f^4(x)~~\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Trong (1) thay $x=0$ và đặt $f(0)=a$ suy ra $f(f(x))=x+a^4$

Trong (1) lấy $f$ 2 vế ta được : $f(f(x^4+f(y)))=f(y+f^4(x))\forall x,y\in \mathbb{R}$

Suy ra $x^4+f(y)+a^4=f(y+f^4(x)) (2)$

Trong (2) thay y bởi f(y) ta được $x^4+y+2a^4=y+(x+a^4)^4\forall x,y\in \mathbb{R}$

Từ đây thay $x=y=0$ suy ra $f(0)=0.$

Từ đó trong (1) thay y bởi f(y) ta được $f(a+b)=f(a)+f(b)\forall a\geq 0,b\in \mathbb{R}(3)$

Trong (3) thay $y$ bởi $-x$ ta được $f(x)$ là hàm lẻ 

Sau đó trong (3) thay $x$ bởi $-x$ và thay $y$ bởi $-y$ ta được $f$ cộng tính trên $\mathbb{R}.$

Lại có với $x\geq 0$ thì $f(x)\geq 0\forall x\geq 0$ ( do trong (1) nếu ta thay $y=0$ thì ta sẽ có được điều này )

Từ đó trong biểu thức (3) cho $y>0$ ta được f đơn điệu, f tăng

Từ đó $f(x)=kx\forall x\in \mathbb{R}$

Thế vào (2) ta được $k=1.$

Thử lại ta thấy thỏa.

Tổng quát : Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn :

$$f(x^n+f(y))=y+f^n(x)~~\forall x,y\in \mathbb{R}$$

             SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                    KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG THPT DỰ THI QUỐC GIA NĂM 2015-2016

                       BÌNH DƯƠNG                                                                                     MÔN:TOÁN

                                                                                               Thời gian làm bài:180 phút (Không kể thời gian giao đề) 

  

 

                                                                                                    HẾT

Bài hình ngày 1. hai điểm $E,F$ nằm cùng phía $BC.$ Đây là bổ đề $shawayama.$

Bài hình ngày 2.

a/ Câu này giấu khá kĩ

Gọi giao điểm $BI$ với $DE$ là $U$ và giao điểm $AI$ với $DE$ là $V.$

Ta có : $(IV.IB)=\frac{1}{2}(\widehat{A}+\widehat{B})=90^{0}-\frac{1}{2}\widehat{C}=(DE,DC)$

Suy ra $DVIB$ là tứ giác nội tiếp 

Tương tự ta cũng có $AIEU$ là tứ giác nội tiếp

Suy ra $AUDB$ là tứ giác nội tiếp suy ra $BI$ vuông góc $AU$ và $AI$ vuông góc $BV.$

Kéo dài $AU$ cắt $BV$ tại $X.$

Từ đó không khó để nhận thấy rằng $N$ thuộc đường tròn Euler của tam giác $XAB.$

Kéo dài $AX$ cắt $CB$ tại $T$

Khi đó tam giác $BAT$ cân nên $U$ là trung điểm $AT$ suy ra $UN$ song song $BC$

Lại có $MN$ song song $AC$

Suy ra $U,M,N$ thẳng hàng

Từ đó ta có đpcm. 

b/ Câu b mai chém