thinhthoithuong

Tìm tất cả các hàm số $f$: $R -> R$

$f(x+f(y))=f(y^2+3)+2xf(y)+f(x)-3$

1) Cho a,b,c,d>0 thỏa:

$\frac{1}{2+a^2}+\frac{1}{2+b^2}+\frac{1}{2+c^2}+\frac{1}{2+d^2}=\frac{1}{2}$

CMR: $abcd\geq ab+ac+ad+bc+bd+cd$;

2) Cho a,b,c,d>0 thỏa:

$\frac{1}{1+a^4}+\frac{1}{1+b^4}+\frac{1}{1+c^4}+\frac{1}{1+d^4}=1$

CMR: $(\frac{1}{a}+\frac{1}{c})(\frac{1}{b}+\frac{1}{d})\leq\frac{4}{\sqrt3}$

$\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc})}$ với a,b,c là các số thực dương

Cho $\Delta ABC$ có cạnh BC nhỏ nhất. Trên AB,AC lần lượt lấy các điểm K, L sao cho BK=CL.

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Chứng minh IO vuông góc KL.

Cho $\Delta$ ABC nội tiếp đường tròn (O).  Đường thẳng d qua tâm O cắt các cạnh BC,AC,AB của $\Delta$ ABC tại $A_{1}, B_{1}, C_{1}$. Chứng minh rằng các đường tròn đường kính $AA_{1}, BB_{1}, CC_{1}$ đồng quy tại 2 điểm:

a) 1 điểm thuộc đường tròn tâm (O) ( câu này mình làm được rồi)

b) 1 điểm thuộc đường tròn Euler của $\Delta$ ABC.