BlackZero

 

KỲ THI OLYMPIC 30/4 LẦN THỨ XXI 

 

Bài 1 (4 điểm)

Giải hệ phương trình :

$$\left\{\begin{matrix} (2x-1)\sqrt{x+y}=(6-x-y)\sqrt{2-x}\\ y+3+2\sqrt[3]{12x^2+3xy-18x}=(x-1)^3 \end{matrix}\right.$$

 

 

 pt $(1)$ 

$\frac{2x-1}{\sqrt{2-x}}=\frac{6-(x+y)}{\sqrt{x+y}}$

đặt  $\sqrt{2-x}=a$ và $\sqrt{x+y}=2b$ ta đc

$\frac{3-2a^2}{a}=\frac{3-2b^2}{b}$

ta có $f(x)$ nghịch biến nên $a=b$

giải ra thay vào pt $(2)$

Đề thi HSG 11 Quảng Trị 2014-2015 (Chuyên)

Câu 1:các số $a,b$ thực. Tìm cặp $(x,y)$ thõa mãn

$$\left\{\begin{matrix} x+y=\sqrt[3]{a+b} & & \\ x^4-y^4=ax-by & & \end{matrix}\right.$$

Câu 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có 15 chữ số mà số 1 và 2 xuất hiện mỗi số 5 lần, các số còn lại xuất hiện ko quá 1 lần, số 0 không xuất hiện và không 2 chữ số lớn hơn 2 nào đứng cạnh nhau.

Câu 3: Cho dãy số ${{x_n}}$,

 $x_{n+1}=x_n+\sqrt{1+{x_n}^2}$, $n$ nguyên dương

a) Tìm CTTQ $x_n$

b) Tìm $lim\frac{x_n}{2^n}$

Câu 4: Cho đường tròn $(O)$ có các đường kính $AB$ $CD$. Tiếp tuyến đường trong tại $B$ cắt đường thẳng $AC$ tại $E$, đường thẳng $DE$ cắt $(O)$ tại $F$

a) CMR $AB$ là tiếp tuyến của $(AEF),(BCE)$

b) CMR $AF,BC,OE$ đồng quy

Câu 5:

a) Tìm all hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thõa mãn

$f(x^2)=f(x+y)f(x-y)+y^2$

b) Cho $a,b,c$ thực đôi 1 khác nhau. CMR

$[a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca][\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}]\geq \frac{9}{2}$

bài 2 bình phương pt $(2)$ nhân $/sqrt{2}$ pt $(1)$

bài 1 

pt $(1)$ đặt 2 căn là $a,b$  xét cái hàm $f(x)=x^3+x$ tăng suy ra $a=b$

thế tiếp

Biến đổi pt $(2)$ đc

$(x-1)^2+4y^2+2(x+2y-1)=0$

Nhân 2 pt $(1)$ cộng vào pt $(2)$ t đc pt

$3(x+2y-1)+2(x+2y-1)-40=0$

Thấy $y=0$ ko là nghiệm

Chia 2 vế pt $(1)$ cho $y^2$ biến đổi hệ t đc hệ mới 

$\left\{\begin{matrix} (\frac{\sqrt{x}}{y}+1-\sqrt{x})(\frac{\sqrt{x}}{y}+1+\sqrt{x})=0& & \\ (y+2-2\sqrt{x})(y+2+2\sqrt{x})=0& & \end{matrix}\right.$

tới đây dễ

Trên 1 đường tròn có 12 điểm cách đều nhau. Một con ếch nhảy từ 1 điểm bất kì trong các điểm trên, 1 lần nhảy tới 1 điểm kề điểm đứng ban đầu. Tính số cách nhảy $n$ lần của con ếch.

số tập con $A$ là $2^{|A|}=2^{2000}$

chứng minh thì dùng tổ hợp với $Newton$ nhé

 

Bài 2:

Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương.

CMR: $\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}$

 

giả sử $a+b+c=3$

đặt $f(x)=\frac{x}{(3-x)^2}$ có $f''(x)=\frac{4}{(3-x)^3}+\frac{6x}{(3-x)^4}$

vậy $f(x)$ là hàm lõm áp dụng BĐT $Jensen$ có đpcm

Cho $P(x)$ là một đa thức với hệ số nguyên không âm và các hệ số không vượt quá $14$ thỏa mãn điều sau:

$P(15)=491998$. Chứng minh rằng $P(2015) \vdots 7$

 $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+....+a_0$ với $a_i<15$

$P(15)=a_n15^n+...a_0$ 

ta chuyển $491998$ về hệ cơ số 15 là $(9)(10)(11)(9)(13)_{15}$

suy ra $P(x)=9x^4+10x^3+11x^2+9x+13$

$2015\equiv 6(mod7)$

thay vào $P(2015)\vdots 7$

Gọi đa thức $P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}$ với $a_{n}\neq 0, n\in \mathbb{N}$

Giả sử là có ít nhất một hệ số $a_{m}\neq 0$

Khi đó $a_{n}x^{2n}+...+a_{m}x^{2m}+...+a_{0}=a_{n}^{2}x^{2n}+...+2a_{n}a_{m}x^{n+m}+...+a_{m}^{2}x^{2m}+...+a_{0}^{2}$

Cân bằng hệ số, ta được: $a_{n}a_{m}=0$ (vô lý)

Do đó không tồn tại $m$ thỏa. 

$\Rightarrow P(x)=a_{n}x^{n}$

 

Còn nếu $m+n=2i\Rightarrow 2a_n a_m=a_i  $ thì sao a?

bài henry thiếu điều kiện 

 ta chọn $m$ $(m<n)$ lớn nhất sao cho $a_m\neq 0$

khi đó $2a_na_m=0$

do $a_n\neq 0$ nên $a_m=0$

rồi lặp lại ra $a_{n-1}=a_{n-2}=...=a_0=0$

$P(x)=x^n$

Cho $f\in \mathbb{R}[x]$ , $deg$ $f=n$, $f(i)=2^i$ với $i=\overline{1,n+1}$

Tính $f(n+2)$

Ta có $U_n=\frac{12}{2^n}-\frac{18}{3^n}$ và

$\lim_{n\rightarrow -\infty }U_n=-\infty$

$\lim_{n\rightarrow +\infty }U_n=0$

$...$

Bài 4

 xét $xy=0....$

$..$

chia cả 2 vế pt 1 cho $xy$ ta được hệ $\left\{\begin{matrix} \frac{(x^2+1)(y^2+1)}{xy}=-8\\ \frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}=\frac{-1}{4} \end{matrix}\right.$

sau dạng quen thuộc

p/s: fix lại thế đúng chưa @Hoang

Bài 2 

ta CM $a^2\geq a-\frac{1}{4}$$\Leftrightarrow (a-\frac{1}{2})^2\geq 0$ (đúng)

làm 3 cái tương tự cộng lại được $DPCM$