Có ai biết bổ đề chặn tích của anh Võ Quốc Bá Cẩn thì chỉ cho mình với. Có tài liêu thì càng tốt.
- minhduc3001 và nhungvienkimcuong thích
Gửi bởi khanh2711999 trong 30-01-2015 - 23:12
Có ai biết bổ đề chặn tích của anh Võ Quốc Bá Cẩn thì chỉ cho mình với. Có tài liêu thì càng tốt.
Gửi bởi khanh2711999 trong 19-06-2014 - 19:51
$(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}+(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2} \geqslant 0$
$\Leftrightarrow$ 3x2 + 3y2 + 3z2 + 3 $\geqslant$ 2xy + 2yz + 2zx + 2x + 2y + 2z
$\Leftrightarrow$ 12 $\geqslant$ 2xy + 2yz + 2xz + 2x + 2y +2z
$\Leftrightarrow$ 6 $\geqslant$ xy + yz + zx + x + y +z
Gửi bởi khanh2711999 trong 26-03-2014 - 23:21
x+1 $\vdots$ y => x+1 $\geqslant$ y (1)
y+1 $\vdots$ x => y+1 $\geqslant$ x => y$\geqslant$ x-1 (2)
(1)(2) => x+1 $\geqslant$ y $\geqslant$ x-1
+) xét y= x+1 => x+2 $\vdots$ x => 2$\vdots$ x
=> x =1 thì y = 2
hoặc x=2 thì y=3
+) y=x
=> x+1 $\vdots$ x => x=1 => y=1
+) y= x-1
=> x+1 $\vdots$ x-1 => 2$\vdots$ x-1
=> x=2 thì y=1
hoặc x=3 thi y=2
Gửi bởi khanh2711999 trong 23-03-2014 - 23:56
áp dụng AM=GM$\frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}\geqslant \frac{4}{a+3b+1+1+1}$
tương tự:
$\frac{1}{\sqrt[3]{b+3c}}\geqslant \frac{4}{b+3c+1+1+1}$
$\frac{1}{\sqrt[3]{c+3a}}\geqslant \frac{4}{c+3a+1+1+1}$
AD Cauchy Schwarz cho 3 cái trên => đpcm
Gửi bởi khanh2711999 trong 27-01-2014 - 15:30
$\frac{a^{2}}{a+b}+ \frac{a+b}{4}$ $\geqslant a$$\geqslant a$
tương tự $\frac{b^{2}}{b+c}+ \frac{b+c}{4}\geqslant b$
$\frac{c^{2}}{a+c}+ \frac{a+c}{4}\geqslant c$
cộng lại, trừ đi => ra $\frac{c^{2}}{a+c}+ \frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{c+a}\geqslant \frac{1}{2}$
Gửi bởi khanh2711999 trong 31-12-2013 - 21:22
bạn tự vẽ hình
gọi E là trung điểm BC
F là trung điểm AD
AB cắt CD tại K
theo bổ đề hình thang $\Rightarrow$ K,E,F thẳng hàng
từ E kẻ EN // AB
$\Rightarrow$ ABEN là hình bình hành
$\Rightarrow$ BE=AN ; góc A = góc ENF ( đồng vị) (1)
góc A + góc D = 90 độ
$\Rightarrow$ góc AKD = 90
$\Rightarrow$ tam giác AKD vuông tại K có đường trung tuyến KF
$\Rightarrow$ góc A = góc AKF (2)
NE// AB ( cách vẽ) $\Rightarrow$ góc AKF = góc NEF (3)
(1)(2)(3) $\Rightarrow$ góc ENF = góc NEF
$\Rightarrow$ tam giác ENF cân
$\Rightarrow$ FN= FE (4)
FN = FA - NA
= FA - BE
= $\frac{AD-BC}{2}$ (5)
(4) VÀ (5) suy ra đpcm
Gửi bởi khanh2711999 trong 31-12-2013 - 20:54
phương trình tương đương
( x2 + 8x + 12)( x2 + 7x +12) = 420x2
đặt x2 + 7,5x + 12 = k
phương trình $\Leftrightarrow$ k2 - 0,25x2 = 420x2
$\Leftrightarrow$ k2 = 420,25x2
$\Leftrightarrow$ th1: k= 20,5x
suy ra: x2 + 7,5x + 12 = 20,5x
$\Leftrightarrow$ x=1 hoặc x=12
k= -20,5x
$\Leftrightarrow$ x2 + 7,5x + 12= -20,5x
$\Leftrightarrow$ x=$-14+2\sqrt{46}$ hoặc x= $-14-2\sqrt{46}$
Gửi bởi khanh2711999 trong 23-12-2013 - 20:10
2) phương trình tương đương
$\sqrt{3x^{2}-7x+3}$ - $\sqrt{3x^{2}-5x-1}$ = $\sqrt{x^{2}-2}-\sqrt{x^{2}-3x+4}$
giả sử vế trái $\geqslant 0$
suy ra 3x2 - 7x +3 $\geqslant$ 3x2 - 5x - 1
suy ra 2$\geqslant$ x (1)
vế trái $\geqslant$ => VP $\geqslant$ 0
=>x2 - 2 $\geqslant$ x2 - 3x +4
=> x $\geqslant$ 2 (2)
(1)(2) => x=2
Gửi bởi khanh2711999 trong 11-09-2013 - 20:41
$\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geqslant \frac{16}{2x+y+z}$ ( hệ quả của BĐT Cô-Si)
tương tự
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geqslant \frac{16}{x+2y+z}$
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}\geqslant \frac{16}{x+y+2z}$
$\Rightarrow$ $\frac{16}{2x+y+z}+\frac{16}{x+2y+z}+\frac{16}{x+y+2z}\leqslant 16$
$\Rightarrow đpcm$$\Rightarrow đpcm$
Gửi bởi khanh2711999 trong 07-09-2013 - 14:30
a)
đặt;
a + b - c = x
b + c - a = y
c + a - b = z
$\Rightarrow$ a = $\frac{y+z}{2}$
b = $\frac{x+z}{2}$
c = $\frac{x+y}{2}$
$\Rightarrow$ ta cần chứng minh:
$xyz \leqslant \frac{x+y}{2}.\frac{y+z}{2}.\frac{z+x}{2}$
ta có $\sqrt{xy}\leqslant \frac{x+y}{2}$
$\sqrt{yz}\leqslant \frac{y+z}{2}$
$\sqrt{xz}\leqslant \frac{x+z}{2}$
Nhân vào $\Rightarrow$ ta có đpcm
b) Đặt
b + c -a = x
a + c -b = y
a + b -c = z
$\Rightarrow$ a = $\frac{y+z}{2}$
b = $\frac{x+z}{2}$
c = $\frac{x+y}{2}$
$\Rightarrow$ ta cần chứng minh :
$\frac{y+z}{2x}+\frac{x+y}{2z}+\frac{z+x}{2y}\geqslant 3$
$\Leftrightarrow \frac{y+z}{x}+\frac{x+y}{z}+\frac{z+x}{y}\geqslant 6$
$\Leftrightarrow \frac{x+y+z}{x}+\frac{x+y+z}{z}+\frac{z+y+x}{y}\geqslant 9$
$\Leftrightarrow (x+y+z).(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geqslant 9$
BĐT trên luôn đúng suy ra có điều phải chứng minh
Gửi bởi khanh2711999 trong 02-09-2013 - 16:19
phương trình có dạng:
$x^{4}+x^{3}+x^{2}-9x+6 = -1$
$\Leftrightarrow (x-1)(x^{3}+2x^{2}+3x-6)= -1$
$\Leftrightarrow (x-1)^{2}(x^{2}+3x+6)=-1$
$\Leftrightarrow$ phương trình vô nghiệm
Gửi bởi khanh2711999 trong 26-08-2013 - 17:31
câu 1
phương trình tương đương:
2$\sqrt{x^{2}+3}-x=\sqrt{8+2x-x^{2}}$
Bình phương cả 2 vế
$\Leftrightarrow$ 4( x2 + 3) - 4x$\sqrt{x^{2}+3}$ + x2 = 8 + 2x - x2
$\Leftrightarrow$ 6x2 - 4x$\sqrt{x^{2}+3}$ - 2x + 4 = 0
$\Leftrightarrow$ 3x2 - x + 2 = 2x$\sqrt{x^{2}+3}$
bình phương cả 2 vế suy ra:
9x4 + x2 + 4 - 6x3 - 4x + 12x2 = 4x2( x2 + 3)
$\Leftrightarrow$ 5x4 - 6x3 + x2 - 4x + 4 = 0
$\Leftrightarrow$ ( x -1)2( 5x2 + 4x + 4) = 0
$\Leftrightarrow$ x = 1
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { 1}
Gửi bởi khanh2711999 trong 22-08-2013 - 23:30
tam giác ABC cân tại A
có phân giác BE,CD
+) Từ E kẻ tia Ex // BD
Từ D kẻ tia Dy // BE
Ex cắt Dy tại F
$\Rightarrow$ BEFD là hình bình hành
$\Rightarrow$ DF = BE (1)
góc DFE = góc DBE
ta có BE = CD ( gt ) (2)
(1)(2) $\Rightarrow$ DF = CD
$\Rightarrow$ tam giác DFC cân tại D
$\Rightarrow$ góc DFC = góc DCF (3)
Gỉả sử góc B > góc C
$\Rightarrow$ góc EDC > góc DCB
$\Rightarrow$ góc DFE > góc DCB (4)
$\Rightarrow$ góc EFC < góc ECF
$\Rightarrow$ EC > EF ( định lý góc và cạnh đối diện trong tam giác )
$\Rightarrow$ EC > BD
Xét tam giác BDC và tam giác CEB có:
BC chung
CD = BE ( gt)
BD < EC ( cmt)
$\Rightarrow$ tam giác BDC không bằng tam giác BEC
$\Rightarrow$ góc C > góc B ( trái vs giả sử)
$\Rightarrow$ tam giác ABC cân ( đpcm)
Gửi bởi khanh2711999 trong 21-08-2013 - 22:51
câu 2
$\sqrt{x^{2}+5x+6}+\sqrt{x^{2}+x-2}\geqslant \sqrt{3x^{2}+7x+2}$
$\Leftrightarrow$ $\sqrt{(x+2)(x+3)}+\sqrt{(x+2)(x-1)}\geqslant\sqrt{(x+2)(3x+1)}$
$\Leftrightarrow$ $\sqrt{(x+2)(x+3)}+\sqrt{(x+2)(x-1)}-\sqrt{(3x+1)(x+2)}\geqslant 0$
$\Leftrightarrow$ $\sqrt{x+2}(\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}-\sqrt{3x+1})\geqslant 0$
TH1: $\sqrt{x+2}\geqslant 0$
$\Leftrightarrow$ x = -2 ( thỏa mãn ĐKXĐ)
TH2: $\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}-\sqrt{3x-1}\geqslant 0$
$\Leftrightarrow$ $\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}\geqslant \sqrt{3x+1}$
$\Leftrightarrow$ $x+3+x-1+2\sqrt{x^{2}+2x-3}\geqslant3x+1$
$\Leftrightarrow$ $2x+2+2\sqrt{x^{2}+2x-3}\geqslant 3x+1$
$\Leftrightarrow$ $1+2\sqrt{x^{2}+2x-3}\geqslant x$
$\Leftrightarrow$ $\sqrt{x^{2}+2x-3}\geqslant \frac{x-1}{2}$
$\Leftrightarrow$ $3x^{2}+10x-13=0$
$\Leftrightarrow$ x $\epsilon$ { 1 ; $\frac{-13}{3}$ } ( thỏa mãn ĐKXĐ)
Gửi bởi khanh2711999 trong 20-08-2013 - 14:46
-$\sqrt{2-x}$ ( 3x + 5) - 5$\sqrt{2+x}$ = 0
$\Leftrightarrow$ $\sqrt{2-x}$( 3x + 5) = -5$\sqrt{2+x}$
$\Leftrightarrow$ ( 3x + 5)2( 2 -x ) = 25 ( 2 + x)
$\Leftrightarrow$ ( 9x2 + 30x + 25 )( 2-x ) = 50 + 25x
$\Leftrightarrow$ 18x2 + 60x + 50 - 9x3 - 30x2 - 25x = 50 + 25x
$\Leftrightarrow$ -9x3 - 12x2 + 10x = 0
$\Leftrightarrow$ 9x3 + 12x2 - 10x = 0
$\Leftrightarrow$ x $\epsilon$ { 0 ; $\frac{-2-\sqrt{14}}{3}$ ; $\frac{-2+\sqrt{14}}{3}$ }
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học