VodichIMO

Ta có:  $2(acosA+bcosB+ccosC)=a+b+c$

Đây là bài hệ trong THTT số tháng 10 mà.

Goi $A$ là thành phố có nhiều đường đi nhất (gồm cả đường đi xuất phát từ $A$ và đường đi đến $A$ ). Ta chia các thành phố còn lại thành $3$ loại. Loại $I$: Có đường đi xuất phát từ $A$. Loại $II$: Có đường đi đến $A$. Loại $III$: Không có đường đi đến $A$ hoặc xuất phát từ $A$.

Đặt $m=|I|;n=|II|;p=|III|$. Ta có $m+n+p=209$

Dễ thấy giữa các thành phố loại $I$ không có đường đi. Tương tự, giữa các thành phố loại $II$ không có đường đi

Số các đường đi liên quan đến thành phố loại $III$ không vượt quá $p(m+n)$ (Do bậc của $A=m+n$ là lớn nhất).

Tổng số đường đi bao gồm:

+ Các đường đi liên quan đến $A:m+n$

+ Các đường đi liên quan đến $III\leq p(m+n)$

+ Các đường đi giữa $I$ và $II$ $\leq$ $mn$.

Suy ra tổng các đường đi nhỏ hơn:

$mn+m(p+1)+n(p+1)\leq\frac{(m+n+p+1)^2}{3}=\frac{210^2}{3}$

Dấu bằng xảy ra với đồ thị $3$ phe, mỗi phe có $70$ thành phố , thành phố phe $1$ có đường đi đến thành phố phe $2$, thành phố phe $2$ có đường đi đến thành phố phe $3$, thành phố phe $3$ có đường đi đến thành phố phe $1$

Bài này là bài câu 9 điểm của đề thi đại hoc khối a năm 2010

Xét $\Delta AHD$ và $\Delta AKD$ có :AD chung,$\angle AHD=\angle AKD=90,\angle HAD=\angle KAD$ $= > \Delta AHD=\Delta AKD= > HD=DK=6(cm)$

Do AB song song DK $= > \frac{DK}{AB}=\frac{DC}{BC}= > \frac{6}{AB}=\frac{DC}{25}= > AB.CD=150$(1)

Xét tam giác CKD và tam giác CHA có:$\angle C$ chung,$\angle AHC=\angle DKC=90$

$= > \Delta CKD\infty \Delta CHA= > \frac{CD}{CA}=\frac{DK}{AH}= \frac{6}{AH}= > \frac{CD}{\sqrt{BC^2-AB^2}}=\frac{6}{AH}= > \frac{CD}{\sqrt{625-AB^2}}=\frac{6}{AH}$(1)

Theo hệ thức lượng tam giác vuông ta có :$\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{625-AB^2}=\frac{625}{AB^2(625-AB^2)}= > AH^2=\frac{AB^2(625-AB^2)}{625}= > AH=\sqrt{\frac{AB^2(625-AB^2)}{625}}$(3)

Bài này bảo tính $AB$ mà bạn.