Đến nội dung

VodichIMO

VodichIMO

Đăng ký: 20-08-2013
Offline Đăng nhập: 07-01-2016 - 23:27
***--

#510846 Giải hệ phương trình: $xy^{2}(\sqrt{x^2+1}+...

Gửi bởi VodichIMO trong 04-07-2014 - 22:27

Giải hệ phương trình:

    $xy^{2}(\sqrt{x^2+1}+1)=3(\sqrt{y^2+9}+y)$

   $(3x-1)\sqrt{x^2y+xy-5}+3x^3y=4x^3+7x$




#485024 $S$=$\frac{1}{1-a}+\frac{1...

Gửi bởi VodichIMO trong 27-02-2014 - 16:25

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$S$=$\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}$




#485016 $1+\frac{r}{R}=cosA+cosB+cosC$

Gửi bởi VodichIMO trong 27-02-2014 - 15:32

Cho $\Delta ABC$. Chứng minh rằng:

 

$1+\frac{r}{R}=cosA+cosB+cosC$




#484255 $2(acosA+bcosB+ccosC)=a+b+c$

Gửi bởi VodichIMO trong 23-02-2014 - 00:15

Ta có:  $2(acosA+bcosB+ccosC)=a+b+c$

 
$\Leftrightarrow$ $\frac{a(b^2+c^2-a^2)}{bc}+\frac{b(a^2+c^2-b^2)}{ac}+\frac{c(a^2+b^2-c^2)}{ab}=a+b+c$
 
$\Leftrightarrow$ $2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4)=abc(a+b+c)$ $\leq$ $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$
 
$\Leftrightarrow$ $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$ $\leq$ $a^4+b^4+c^4$ (BĐT này hiển nhiên đúng)
Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c$ $\Leftrightarrow$ Tam giác $ABC$ đều
 
 



#481813 Trận 3 - Tổ hợp rời rạc

Gửi bởi VodichIMO trong 07-02-2014 - 23:12

Goi $A$ là thành phố có nhiều đường đi nhất (gồm cả đường đi xuất phát từ $A$ và đường đi đến $A$ ). Ta chia các thành phố còn lại thành $3$ loại. Loại $I$: Có đường đi xuất phát từ $A$. Loại $II$: Có đường đi đến $A$. Loại $III$: Không có đường đi đến $A$ hoặc xuất phát từ $A$.

Đặt $m=|I|;n=|II|;p=|III|$. Ta có $m+n+p=209$

Dễ thấy giữa các thành phố loại $I$ không có đường đi. Tương tự, giữa các thành phố loại $II$ không có đường đi

Số các đường đi liên quan đến thành phố loại $III$ không vượt quá $p(m+n)$ (Do bậc của $A=m+n$ là lớn nhất).

Tổng số đường đi bao gồm:

+ Các đường đi liên quan đến $A:m+n$

+ Các đường đi liên quan đến $III\leq p(m+n)$

+ Các đường đi giữa $I$ và $II$ $\leq$ $mn$.

Suy ra tổng các đường đi nhỏ hơn:

$mn+m(p+1)+n(p+1)\leq\frac{(m+n+p+1)^2}{3}=\frac{210^2}{3}$

Dấu bằng xảy ra với đồ thị $3$ phe, mỗi phe có $70$ thành phố , thành phố phe $1$ có đường đi đến thành phố phe $2$, thành phố phe $2$ có đường đi đến thành phố phe $3$, thành phố phe $3$ có đường đi đến thành phố phe $1$


  • LNH yêu thích


#479651 $sinA+sinB+sinC=\frac{1}{cotA+cotB}+\frac...

Gửi bởi VodichIMO trong 28-01-2014 - 16:05

Tam giác $ABC$ là tam giác gì nếu các góc $A,B,C$ của nó thỏa mãn hệ thức:

 

$sinA+sinB+sinC=\frac{1}{cotA+cotB}+\frac{1}{cotB+cotC}+\frac{1}{cotC+cotA}$




#479293 Chứng minh rằng đa thức $g_(x)=ax^2+bx-c có hai nghiệm trái dấu

Gửi bởi VodichIMO trong 26-01-2014 - 22:27

Cho $a,b,c$ là các số thực và $a \neq 0$. Chứng minh rằng nếu đa thức $f(x)=a(ax^2+bx+c)^2+b(ax^2+bx+c)+c$ vô nghiệm thì đa thức $g(x)=ax^2+bx-c$ có hai nghiệm trái dấu




#455563 Cho $m,n \in N$ với $(m;n)=1$. Tìm $(m^2+n^2;m+...

Gửi bởi VodichIMO trong 06-10-2013 - 10:00

$1$. Cho $m,n \in N$ với $(m;n)=1$. Tìm $(m^2+n^2;m+n)$

 

$2$.Cho $A=2^n+3;B=2^{n+1}+3^{n+1} (n \in N*);C=2^{n+2}+3^{n+2} (n \in N*)$. Tìm $(A;B)$ và $(A;C)$

 

$3$. Chứng minh rằng dãy số $2^n-3$ với mọi $n \in N$ và $n \geq 2$ chứa vô hạn những số nguyên tố cùng nhau.

 

$4$. Chứng minh rằng dãy số Mersen $M_n=2^n-1(n \in N*)$ chứa dãy số vô hạn những số nguyên tố cùng nhau.

 

$5$.Chứng minh rằng dãy Fermat $F_n=2^{2^n}+1(n \in N*)$ là dãy số nguyên tố cùng nhau.

 

$6$.Cho $n \in N;n>1$ và $2^n-2$ chia hết cho $n$. Tìm $(2^{2^n};2^n-1)$.

 

$7$. Cho ba số tự nhiên $a;b;c$ đôi một nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng $(ab+ac+bc;abc)=1$.

 

$8$. Cho $a;b \in N*$. Chứng minh rằng tồn tại vô số $n \in N$ sao cho $(a+n;b+n)=1$.

 

 

 




#453773 KC = AM

Gửi bởi VodichIMO trong 29-09-2013 - 00:15



Cho tam giác ABC. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, (I) tiếp xúc AC tại M. MI cắt (I) tại điểm thứ 2 là N, BN cắt AC tại K

Chứng minh rằng KC = AM

Gọi $R$ là bán kính đường tròn $(I)$. Tiếp tuyến với $(I)$ tại $N$ lần lượt cắt $AB,BC$ tại $H$ và $T$.

Dễ dàng cm
:

 

$\frac{HN}{R}=\frac{R}{AM}$ và $\frac{NT}{R}=\frac{R}{MC}$
$\Rightarrow$ $\frac{HT}{NT}=\frac{AC}{AM}$ $(1)$
Lại có: $\frac{NH}{AK}=\frac{NT}{KC}$
$\Rightarrow$ $\frac{NT}{KC}=\frac{HT}{AC}$
$\Rightarrow$ $\frac{NT}{HT}=\frac{CK}{AC}$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $CK=AM$




#453017 Chứng minh rằng $AM,DN,XY$ đồng quy

Gửi bởi VodichIMO trong 25-09-2013 - 21:14

Cho bốn điểm khác nhau $A,B,C,D$ nằm trên một đường thẳng theo thứ tự đó. Hai đường tròn đường kính $AC,BD$ cắt nhau tại hai điểm $X$ và $Y$. Đường thẳng $XY$ cắt $BC$ tại $Z$. Giả sử $P$ là một điểm khác $Z$ nằm trên $XY$. Đường thẳng $CP$ cắt đường tròn đường kính $AC$ tại $C$ và $M$. Đường thẳng $BP$ cắt đường tròn đường kính $BD$ tại $B$ và $N$. Chứng minh rằng $AM,DN,XY$ đồng quy

Gọi $K'$ là giao của $AM$ với $XY$. $K$ là giao của $DN$ với $XY$

Tứ giác $K'MZC$ nội tiếp  $\Rightarrow$ $PM.PC=PK'.PZ$

Tứ giác $KNZB$ nội tiếp $\Rightarrow$ $PN.PB=PK.PZ$.

 

Mà $PM.PC=PN.PB$  $\Rightarrow$ $PK'.PZ=PK.PZ$

Suy ra $K$ trùng $K'$. Suy ra đpcm


  • LNH yêu thích


#452845 Cho a,b,c>0 và ab+bc+ca=3.CMR: $\sum \frac{1}...

Gửi bởi VodichIMO trong 24-09-2013 - 20:50

Cho a,b,c>0 và ab+bc+ca=3.CMR:

$\frac{1}{1+a^2(b+c)}+\frac{1+b^2(a+c)}+\frac{1}{1+c^2(a+b)} \leq \frac{1}{abc}$

Bài này giống bài mình chế lại. có giải ở link này:

http://diendantoanho...a-mãn-abacbc-3/




#452402 Chứng minh N là trung điểm của AH.

Gửi bởi VodichIMO trong 22-09-2013 - 19:59

Cho A ở ngoài (O), AB, AC là 2 tiếp tuyến, CD là đường kính; AD cắt (O) tại M, OA cắt BC tại H, BM cắt OA tại N. CMR: N là trung điểm của AH.

 

Ta có: $AB^2=AM.AD$; $AB^2=AH.AO$

$\Rightarrow$ $AM.AD=AH.AO$ $\Rightarrow$ Tứ giác $MDOH$ nội tiếp

$\Rightarrow$ $\widehat{MDO}=\widehat{MHA}$

 

mà $\widehat{MDO}=\widehat{MCA}$ ( cùng chắn cung $MC$)

$\Rightarrow$ $\widehat{MHA}=\widehat{MCA}$ $\Rightarrow$ Tứ giác $AMHC$ nội tiếp

 

$\Rightarrow$ $\widehat{MCH}=\widehat{HAM}$.

 

Mà $\widehat{MCH}=\widehat{ABM}$ (cùng chắn cung $BM$)

$\Rightarrow$ $\widehat{MAN}=\widehat{ABN}$ $\Rightarrow$ $\Delta{ABN}$ đồng dạng $\Delta{MAN}$ $\Rightarrow$ $AN^2=MN.BN$ $(1)$

 

Mặt khác: Tứ giác $BDCM$ nội tiếp $\Rightarrow$ $\widehat{MBC}=\widehat{MDC}$

$\Rightarrow$ $\widehat{MBC}=\widehat{MHN}$ $\Rightarrow$ $\Delta{BHN}$ đồng dạng $\Delta{MHN}$ $\Rightarrow$ $HN^2=MN.NB$ $(2)$

 

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra đpcm.




#452191 Cho a>b>0.CMR: $a+\frac{1}{b(b-a)}...

Gửi bởi VodichIMO trong 21-09-2013 - 23:52

Cho a>b>0.CMR: $a+\frac{1}{b(b-a)} \geq 3$

Bài này sai đề rồi bạn. Ta chỉ cần thay $a=1,1$;  $b=1$ là sai ngay. Có lẽ đề nên sửa lại thế này. Cho a>b>0.CMR: $a+\frac{1}{b(a-b)} \geq 3$




#452188 Chứng minh $EG//BC$

Gửi bởi VodichIMO trong 21-09-2013 - 23:37

$\boxed{1}$ Cho tam giác $ABC$ có $BC<BA$. Qua $C$ kẻ đường thẳng vuông góc tia phân giác $BE$ của tam giác $ABC$.Đường thẳng này cắt $BE$ tại $F$ cắt trung tuyến $BD$ tại $G$. $M$ là giao của $DF$ và $BC$. Chứng minh $EG//BC$

 

Bài này có ở đây:

http://diendantoanho...ng-điểm-của-eg/




#452182 CMR: $\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\g...

Gửi bởi VodichIMO trong 21-09-2013 - 23:13

Cho $a+b+c=3$.CMR:

$\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\geq \frac{9}{2\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right )}$

 

@@:Bạn chú ý cách đặt tiêu đề nhé !

$\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\geq \frac{9}{2\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right )}$

$\Rightarrow$ $3$ $-$ $(\frac{ab}{ab+1}+\frac{bc}{bc+1}+\frac{ac}{ac+1})$ $\geq$ $\frac{9}{2\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right )}$

Ta có: $3$ $-$ $(\frac{ab}{ab+1}+\frac{bc}{bc+1}+\frac{ac}{ac+1})$ $\geq$ $3$ $-$ $\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{2}$.

Giờ ta cần chứng minh: $3$ $-$ $(\frac{ab}{ab+1}+\frac{bc}{bc+1}+\frac{ac}{ac+1})$ $\geq$ $\frac{9}{2\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right )}$   $(*)$

Đặt $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=t$ ($t>0$) $\Rightarrow$ $t^2=a+b+c+2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$

$\Rightarrow$ $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=\frac{t^2-3}{2}$

Thay vào $(*)$ ta được:

$3-\frac{t^2-3}{4}$ $\geq$ $\frac{9}{2t}$ $\Rightarrow$ $\frac{15-t^2}{4}$

$\Rightarrow$ $t^3-15t+18$ $\leq$ $0$ $\Rightarrow$ $(t-3)(t^2+3t-6)$ $\leq$ $0$.   $(**)$

Dễ dàng chứng minh: $\sqrt{3}$ $<$ $t$ $\leq$ $3$

$\Rightarrow$ $(**)$ đúng. Suy ra đpcm. Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$