Giải hệ phương trình:
$xy^{2}(\sqrt{x^2+1}+1)=3(\sqrt{y^2+9}+y)$
và
$(3x-1)\sqrt{x^2y+xy-5}+3x^3y=4x^3+7x$
- PolarBear154 yêu thích
Gửi bởi VodichIMO trong 04-07-2014 - 22:27
Giải hệ phương trình:
$xy^{2}(\sqrt{x^2+1}+1)=3(\sqrt{y^2+9}+y)$
và
$(3x-1)\sqrt{x^2y+xy-5}+3x^3y=4x^3+7x$
Gửi bởi VodichIMO trong 27-02-2014 - 16:25
Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$S$=$\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}$
Gửi bởi VodichIMO trong 27-02-2014 - 15:32
Gửi bởi VodichIMO trong 23-02-2014 - 00:15
Ta có: $2(acosA+bcosB+ccosC)=a+b+c$
Gửi bởi VodichIMO trong 07-02-2014 - 23:12
Goi $A$ là thành phố có nhiều đường đi nhất (gồm cả đường đi xuất phát từ $A$ và đường đi đến $A$ ). Ta chia các thành phố còn lại thành $3$ loại. Loại $I$: Có đường đi xuất phát từ $A$. Loại $II$: Có đường đi đến $A$. Loại $III$: Không có đường đi đến $A$ hoặc xuất phát từ $A$.
Đặt $m=|I|;n=|II|;p=|III|$. Ta có $m+n+p=209$
Dễ thấy giữa các thành phố loại $I$ không có đường đi. Tương tự, giữa các thành phố loại $II$ không có đường đi
Số các đường đi liên quan đến thành phố loại $III$ không vượt quá $p(m+n)$ (Do bậc của $A=m+n$ là lớn nhất).
Tổng số đường đi bao gồm:
+ Các đường đi liên quan đến $A:m+n$
+ Các đường đi liên quan đến $III\leq p(m+n)$
+ Các đường đi giữa $I$ và $II$ $\leq$ $mn$.
Suy ra tổng các đường đi nhỏ hơn:
$mn+m(p+1)+n(p+1)\leq\frac{(m+n+p+1)^2}{3}=\frac{210^2}{3}$
Dấu bằng xảy ra với đồ thị $3$ phe, mỗi phe có $70$ thành phố , thành phố phe $1$ có đường đi đến thành phố phe $2$, thành phố phe $2$ có đường đi đến thành phố phe $3$, thành phố phe $3$ có đường đi đến thành phố phe $1$
Gửi bởi VodichIMO trong 28-01-2014 - 16:05
Tam giác $ABC$ là tam giác gì nếu các góc $A,B,C$ của nó thỏa mãn hệ thức:
$sinA+sinB+sinC=\frac{1}{cotA+cotB}+\frac{1}{cotB+cotC}+\frac{1}{cotC+cotA}$
Gửi bởi VodichIMO trong 26-01-2014 - 22:27
Cho $a,b,c$ là các số thực và $a \neq 0$. Chứng minh rằng nếu đa thức $f(x)=a(ax^2+bx+c)^2+b(ax^2+bx+c)+c$ vô nghiệm thì đa thức $g(x)=ax^2+bx-c$ có hai nghiệm trái dấu
Gửi bởi VodichIMO trong 06-10-2013 - 10:00
$1$. Cho $m,n \in N$ với $(m;n)=1$. Tìm $(m^2+n^2;m+n)$
$2$.Cho $A=2^n+3;B=2^{n+1}+3^{n+1} (n \in N*);C=2^{n+2}+3^{n+2} (n \in N*)$. Tìm $(A;B)$ và $(A;C)$
$3$. Chứng minh rằng dãy số $2^n-3$ với mọi $n \in N$ và $n \geq 2$ chứa vô hạn những số nguyên tố cùng nhau.
$4$. Chứng minh rằng dãy số Mersen $M_n=2^n-1(n \in N*)$ chứa dãy số vô hạn những số nguyên tố cùng nhau.
$5$.Chứng minh rằng dãy Fermat $F_n=2^{2^n}+1(n \in N*)$ là dãy số nguyên tố cùng nhau.
$6$.Cho $n \in N;n>1$ và $2^n-2$ chia hết cho $n$. Tìm $(2^{2^n};2^n-1)$.
$7$. Cho ba số tự nhiên $a;b;c$ đôi một nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng $(ab+ac+bc;abc)=1$.
$8$. Cho $a;b \in N*$. Chứng minh rằng tồn tại vô số $n \in N$ sao cho $(a+n;b+n)=1$.
Gửi bởi VodichIMO trong 29-09-2013 - 00:15
Cho tam giác ABC. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, (I) tiếp xúc AC tại M. MI cắt (I) tại điểm thứ 2 là N, BN cắt AC tại K
Chứng minh rằng KC = AM
Gọi $R$ là bán kính đường tròn $(I)$. Tiếp tuyến với $(I)$ tại $N$ lần lượt cắt $AB,BC$ tại $H$ và $T$.
Dễ dàng cm :
$\frac{HN}{R}=\frac{R}{AM}$ và $\frac{NT}{R}=\frac{R}{MC}$
$\Rightarrow$ $\frac{HT}{NT}=\frac{AC}{AM}$ $(1)$
Lại có: $\frac{NH}{AK}=\frac{NT}{KC}$
$\Rightarrow$ $\frac{NT}{KC}=\frac{HT}{AC}$
$\Rightarrow$ $\frac{NT}{HT}=\frac{CK}{AC}$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $CK=AM$
Gửi bởi VodichIMO trong 25-09-2013 - 21:14
Cho bốn điểm khác nhau $A,B,C,D$ nằm trên một đường thẳng theo thứ tự đó. Hai đường tròn đường kính $AC,BD$ cắt nhau tại hai điểm $X$ và $Y$. Đường thẳng $XY$ cắt $BC$ tại $Z$. Giả sử $P$ là một điểm khác $Z$ nằm trên $XY$. Đường thẳng $CP$ cắt đường tròn đường kính $AC$ tại $C$ và $M$. Đường thẳng $BP$ cắt đường tròn đường kính $BD$ tại $B$ và $N$. Chứng minh rằng $AM,DN,XY$ đồng quy
Gọi $K'$ là giao của $AM$ với $XY$. $K$ là giao của $DN$ với $XY$
Tứ giác $K'MZC$ nội tiếp $\Rightarrow$ $PM.PC=PK'.PZ$
Tứ giác $KNZB$ nội tiếp $\Rightarrow$ $PN.PB=PK.PZ$.
Mà $PM.PC=PN.PB$ $\Rightarrow$ $PK'.PZ=PK.PZ$
Suy ra $K$ trùng $K'$. Suy ra đpcm
Gửi bởi VodichIMO trong 24-09-2013 - 20:50
Cho a,b,c>0 và ab+bc+ca=3.CMR:
$\frac{1}{1+a^2(b+c)}+\frac{1+b^2(a+c)}+\frac{1}{1+c^2(a+b)} \leq \frac{1}{abc}$
Bài này giống bài mình chế lại. có giải ở link này:
http://diendantoanho...a-mãn-abacbc-3/
Gửi bởi VodichIMO trong 22-09-2013 - 19:59
Cho A ở ngoài (O), AB, AC là 2 tiếp tuyến, CD là đường kính; AD cắt (O) tại M, OA cắt BC tại H, BM cắt OA tại N. CMR: N là trung điểm của AH.
Ta có: $AB^2=AM.AD$; $AB^2=AH.AO$
$\Rightarrow$ $AM.AD=AH.AO$ $\Rightarrow$ Tứ giác $MDOH$ nội tiếp
$\Rightarrow$ $\widehat{MDO}=\widehat{MHA}$
mà $\widehat{MDO}=\widehat{MCA}$ ( cùng chắn cung $MC$)
$\Rightarrow$ $\widehat{MHA}=\widehat{MCA}$ $\Rightarrow$ Tứ giác $AMHC$ nội tiếp
$\Rightarrow$ $\widehat{MCH}=\widehat{HAM}$.
Mà $\widehat{MCH}=\widehat{ABM}$ (cùng chắn cung $BM$)
$\Rightarrow$ $\widehat{MAN}=\widehat{ABN}$ $\Rightarrow$ $\Delta{ABN}$ đồng dạng $\Delta{MAN}$ $\Rightarrow$ $AN^2=MN.BN$ $(1)$
Mặt khác: Tứ giác $BDCM$ nội tiếp $\Rightarrow$ $\widehat{MBC}=\widehat{MDC}$
$\Rightarrow$ $\widehat{MBC}=\widehat{MHN}$ $\Rightarrow$ $\Delta{BHN}$ đồng dạng $\Delta{MHN}$ $\Rightarrow$ $HN^2=MN.NB$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra đpcm.
Gửi bởi VodichIMO trong 21-09-2013 - 23:52
Cho a>b>0.CMR: $a+\frac{1}{b(b-a)} \geq 3$
Bài này sai đề rồi bạn. Ta chỉ cần thay $a=1,1$; $b=1$ là sai ngay. Có lẽ đề nên sửa lại thế này. Cho a>b>0.CMR: $a+\frac{1}{b(a-b)} \geq 3$
Gửi bởi VodichIMO trong 21-09-2013 - 23:37
$\boxed{1}$ Cho tam giác $ABC$ có $BC<BA$. Qua $C$ kẻ đường thẳng vuông góc tia phân giác $BE$ của tam giác $ABC$.Đường thẳng này cắt $BE$ tại $F$ cắt trung tuyến $BD$ tại $G$. $M$ là giao của $DF$ và $BC$. Chứng minh $EG//BC$
Bài này có ở đây:
http://diendantoanho...ng-điểm-của-eg/
Gửi bởi VodichIMO trong 21-09-2013 - 23:13
Cho $a+b+c=3$.CMR:
$\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\geq \frac{9}{2\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right )}$
@@:Bạn chú ý cách đặt tiêu đề nhé !
$\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\geq \frac{9}{2\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right )}$
$\Rightarrow$ $3$ $-$ $(\frac{ab}{ab+1}+\frac{bc}{bc+1}+\frac{ac}{ac+1})$ $\geq$ $\frac{9}{2\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right )}$
Ta có: $3$ $-$ $(\frac{ab}{ab+1}+\frac{bc}{bc+1}+\frac{ac}{ac+1})$ $\geq$ $3$ $-$ $\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{2}$.
Giờ ta cần chứng minh: $3$ $-$ $(\frac{ab}{ab+1}+\frac{bc}{bc+1}+\frac{ac}{ac+1})$ $\geq$ $\frac{9}{2\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right )}$ $(*)$
Đặt $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=t$ ($t>0$) $\Rightarrow$ $t^2=a+b+c+2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$
$\Rightarrow$ $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=\frac{t^2-3}{2}$
Thay vào $(*)$ ta được:
$3-\frac{t^2-3}{4}$ $\geq$ $\frac{9}{2t}$ $\Rightarrow$ $\frac{15-t^2}{4}$
$\Rightarrow$ $t^3-15t+18$ $\leq$ $0$ $\Rightarrow$ $(t-3)(t^2+3t-6)$ $\leq$ $0$. $(**)$
Dễ dàng chứng minh: $\sqrt{3}$ $<$ $t$ $\leq$ $3$
$\Rightarrow$ $(**)$ đúng. Suy ra đpcm. Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học