Đến nội dung


xxthieuongxx

Đăng ký: 08-09-2013
Offline Đăng nhập: 16-01-2016 - 19:19
***--

#604722 $\frac{1}{\sqrt{4x^2+x+4}}+...

Gửi bởi xxthieuongxx trong 22-12-2015 - 20:23

 

Áp dụng C-S ta có $(\sum \frac{1}{\sqrt{4x^{2}+x+4}})^{2}\leq \sum \frac{1}{3}.\frac {1}{4x^{2}+x+4}\leq \frac{1}{9(x+2)}+\frac{4}{9(2x^{2}+1)}$
Tới đây sử dụng bổ đề: $\sum \frac{1}{x+2}\leq 1 $với xyz=1
Ta cần chứng minh $\sum \frac{2}{2x^{2}+1}\leq 1$ nhưng đây chính là 1 đẳng thức với xyz=1 

 

Cho mình hỏi tại sao $\sum \frac{2}{2x^{2}+1}\leq 1$ ???




#603304 $\frac{1}{\sqrt{4x^2+x+4}}+...

Gửi bởi xxthieuongxx trong 15-12-2015 - 11:37

Cho $x,y,x>0$ và $xyz=1$. Chứng minh: 

$\frac{1}{\sqrt{4x^2+x+4}}+\frac{1}{\sqrt{4y^2+y+4}}+\frac{1}{\sqrt{4z^2+z+4}}\leq 1$




#603225 $\sqrt{x+y+z}\geq \sqrt{1-x}+\sq...

Gửi bởi xxthieuongxx trong 14-12-2015 - 21:09

Cho $x,y,z\geq 1$; $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}= 2$. Chứng minh:

$\sqrt{x+y+z}\geq \sqrt{1-x}+\sqrt{1-y}+\sqrt{1-z}$.




#528345 Cho $x,y>0$ t/m: $17x^{2}-72xy+90y^{2}...

Gửi bởi xxthieuongxx trong 11-10-2014 - 22:17

Cho $x,y>0$ t/m: $17x^{2}-72xy+90y^{2}= 9$. 

Tìm Max của $A=3\sqrt{x} + 8\sqrt{y}$.




#523818 Cmr: $\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}...

Gửi bởi xxthieuongxx trong 10-09-2014 - 21:25

Với a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác.

Cmr: $\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{a+c-b}+\frac{16c}{a+b-c}\geq 26$.




#523148 Cho a,b >0 ; a+b <1 . Tìm GTNN của A = $\frac{a^{...

Gửi bởi xxthieuongxx trong 06-09-2014 - 21:25

$\frac{a^{2}}{1-a}\geq \frac{a^{2}}{a+b-a}=\frac{a^{2}}{b}$.

$\frac{b^{2}}{1-b}\geq \frac{b^{2}}{a+b-b}=\frac{b^{2}}{a}$.

$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}\geq \frac{(a+b)^{2}}{a+b}=a+b$.

$\Rightarrow A\geq 2(a+b)+\frac{1}{a+b}= 2(a+b)+\frac{1}{2(a+b)}+\frac{1}{2(a+b)}\geq 2+\frac{1}{2}$.

$\Rightarrow$ Amin=2,5 $\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}$.

 




#521703 Chứng minh quy nạp:$2\leq (1+1/n)^n <3 (n\in N*)$

Gửi bởi xxthieuongxx trong 28-08-2014 - 20:29

BĐT đúng với n=1.

Với n=2, theo khai triển $(a+b)^{n}$ có:

$(1+\frac{1}{n})^{n}=1+n.\frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2!}.\frac{1}{n^{2}}+...+ \frac{n(n-1)..2.1}{n^{n}}< 2+(\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!})$.

Ta sẽ chứng minh: $2+(\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!})<3$.

$\Leftrightarrow \frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n.(n-1)}$.

$\Leftrightarrow 2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}<2+1-\frac{1}{n}<3$.

$\Leftrightarrow (1+\frac{1}{n})^{n}<3$.

 

Được 1 vế.

 

Vế còn lại ta chứng minh theo BĐT Bernoulli: $(1+\frac{1}{n})^{n}\geq 1+\frac{n}{n}= 2$.




#521258 Tìm Max của $T=\sum_{cyc}^{x,y,z}\frac...

Gửi bởi xxthieuongxx trong 25-08-2014 - 20:40

Tìm Max của $T=\sum_{cyc}^{x,y,z}\frac{\sqrt{yz}}{x+2\sqrt{yz}}$với $x,y,z>0$.




#521030 Cho $\bigtriangleup ABC$ nhọn. C/m: tan A + tan B + tan C = ta...

Gửi bởi xxthieuongxx trong 24-08-2014 - 13:52

Cho $\bigtriangleup ABC$ nhọn. C/m: tan A + tan B + tan C = tan A . tan B . tan C




#520203 $\sqrt[3]{\frac{a}{b+c}}+\s...

Gửi bởi xxthieuongxx trong 18-08-2014 - 19:42

Mấy bài này các bạn làm bằng AM-GM nhé!

1. Cho 3 số không âm a, b, c thỏa mãn: Min{ (a+b); (b+c); (c+a) } > 0.

CMR:        $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq 2$.

2. Cho 3 số không âm a, b, c thỏa mãn: Min{ (a+b); (b+c); (c+a) } > 0.

CMR:        $\sqrt[3]{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[3]{\frac{b}{c+a}}+\sqrt[3]{\frac{c}{a+b}}\geq 2$.

 Bài 2 sử dụng kết quả bài 1 nhưng khó hơn!




#519745 AM-GM

Gửi bởi xxthieuongxx trong 15-08-2014 - 21:22

Bài này dùng AM-GM nha!

Cho a,b,c dương. CMR: 

  $\sqrt{\frac{a(b+c)}{a^{2}+bc}}+\sqrt{\frac{b(a+c)}{b^{2}+ac}}+\sqrt{\frac{c(a+b)}{c^{2}+ab}}\leq \sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}})}$.




#519383 CM $\frac{a+3c}{a+b}+\frac{c+3a}...

Gửi bởi xxthieuongxx trong 13-08-2014 - 21:39

Mình có cách này hay nè:

 

Biến đổi
$\frac{a+3c}{a+b}+\frac{c+3a}{b+c}+\frac{4b}{a+c}= \frac{a+c}{a+b}+\frac{c+a}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+2(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b})$    
$\geq \frac{4(a+c)}{a+2b+c} +\frac{a+2b+c}{a+c}-1+2(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})$
 
Ta áp dụng BĐT nesbit
$\Rightarrow $ $2(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})\geq 3$
Và AM-GM với $\frac{4(a+c)}{a+2b+c} +\frac{a+2b+c}{a+c}\geq4$
 
$\Rightarrow $ đpcm
 
 



#519203 CM $\frac{a+3c}{a+b}+\frac{c+3a}...

Gửi bởi xxthieuongxx trong 12-08-2014 - 21:13

Mấy bạn dùng BĐT AM-GM dạng cộng mẫu để giải 2 bài này nhé:

 

1.Cho $a,b,c>0$. CMR:

   $\frac{a+3c}{a+b}+\frac{c+3a}{c+b}+\frac{4b}{c+a}\geq 6$.

2.Cho $a,b,c>0$. CMR:

   $\frac{b^{3}+2abc+c^{3}}{a^{2}+bc}+\frac{a^{3}+2abc+c^{3}}{b^{2}+ac}+\frac{b^{3}+2abc+a^{3}}{c^{2}+ba}\geq 2(a+b+c)$.




#518690 $\dfrac{1}{a+3b}+\dfrac{1}{...

Gửi bởi xxthieuongxx trong 09-08-2014 - 21:17

Thôi để mình giải luôn nhé!

 

$\sum \frac{1}{a+3b} \geq \frac{9}{4(a+b+c)}$
Ta cần chứng minh:  9 + 3abc $\geq $ 4(a + b + c)     (1)
Đặt a= 1 - x, b= 1 - y, c= 1 - z,  $\Rightarrow$  $0\leq  x,y,z <1$
Khi đó: (1) $\Leftrightarrow $ 9 + 3(1 - x)(1 - y)(1 - z) $\geq$ 4(3 - x - y - z)
                 $\Leftrightarrow $  $ x + y + z + 3(xy + yz + zx) \geq 3xyz $
Sử dụng AM-GM ta sẽ có:
          $  x + y + z + 3(xy + yz + zx) \geq 3\sqrt[3]{xyz} + 9(\sqrt[3]{xyz})^{2} \geq 12xyz\geq 3xyz $ 
 $\Leftrightarrow $   đpcm.
             Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow$ x = y = z =0
                                         $\Leftrightarrow$ a = b = c =1.
 
 
 



#518683 $\dfrac{1}{a+3b}+\dfrac{1}{...

Gửi bởi xxthieuongxx trong 09-08-2014 - 20:49

Vẫn sai rồi