Đến nội dung


kfcchicken98

Đăng ký: 09-09-2013
Offline Đăng nhập: 20-08-2017 - 03:03
-----

#487560 Tìm GTLN của $P=\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+...

Gửi bởi kfcchicken98 trong 18-03-2014 - 12:53

Cho mình hỏi tại sao tổng cuối lại bằng 1/2 vậy?

biến đổi đẳng thức thôi

$\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}=\frac{bc}{b+bc+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{ab}{a+1+ab}=\frac{bc}{bc+b+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{b}{1+bc+b}=1$




#487559 CMR: $\sum \frac{a^{2}}{b}\...

Gửi bởi kfcchicken98 trong 18-03-2014 - 12:46

$\sum \frac{a^{2}}{b}-2a+b=\sum \frac{(a-b)^{2}}{b}\geq \frac{(\left | a-b \right |+\left | b-c \right |+\left | c-a \right |)^{2}}{a+b+c}\geq \frac{(\left | a-c \right |+\left | c-a \right |)^{2}}{a+b+c}=\frac{4\left | a-c \right |^{2}}{a+b+c}$




#486733 \lim_{x\rightarrow 2}\left ( x-2 \right )cos...

Gửi bởi kfcchicken98 trong 14-03-2014 - 06:19

Bạn nói rõ hơn được không ?

cái đó là dùng L'hospital. Nếu ko biết L'hospital thì có thể giải như sau

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln (\cos 3x)}{\ln (\cos 5x)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln (1+\cos 3x-1)}{\cos 3x-1}\frac{(\cos 5x-1)}{\ln (1+\cos 5x-1)}\frac{\cos 3x-1}{\cos 5x-1} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos 3x-1}{\cos 5x-1}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-2\sin ^{2}\frac{3x}{2}-1}{1-2\sin ^{2}\frac{5x}{2}-1}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin ^{2}\frac{3x}{2}}{\frac{9x^{2}}{4}}\frac{\frac{25x^{2}}{4}}{\sin ^{2}\frac{5x}{2}}\frac{\frac{9x^{2}}{4}}{\frac{25x^{2}}{4}}=\frac{9}{25}$




#486013 $\frac{x}{1+x^{3}}+\frac{y...

Gửi bởi kfcchicken98 trong 06-03-2014 - 09:36

bđt tương đương $\frac{x^{4}}{x^{3}+1}+\frac{y^{4}}{y^{3}+1}+\frac{z^{4}}{z^{3}+1}\geq \frac{1}{28}$

giả sử $x\geq y\geq z$

có $\frac{x^{4}}{x^{3}+1}+\frac{y^{4}}{y^{3}+1}+\frac{z^{4}}{z^{3}+1}\geq \frac{1}{3}(\frac{x^{2}}{x+1}+\frac{y^{2}}{y+1}+\frac{z^{2}}{z+1})(\frac{x^{2}}{x^{2}-x+1}+\frac{y^{2}}{y^{2}-y+1}+\frac{z^{2}}{z^{2}-z+1})\geq \frac{1}{3}\frac{1}{4}(\sum \frac{2x^{2}}{4(x^{2}+y^{2}+z^{2})+y^{2}+z^{2}})\geq \frac{1}{12}(\frac{2(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{4(x^{4}+y^{4}+z^{4})+10(x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+x^{2}z^{2})})\geq \frac{1}{12}(\frac{2(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{4(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}+\frac{2(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{3}})=\frac{1}{12}\frac{6}{14}=\frac{1}{28}$

đpcm




#485757 Cho $a,b,c>0$ sao cho abc=1. Chứng minh rằng: $\sum...

Gửi bởi kfcchicken98 trong 04-03-2014 - 09:54

bài toán này đã được đăng trên THTT số tháng 10 năm 2012, bạn không được đăng các bài trên THTT




#484267 $\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-...

Gửi bởi kfcchicken98 trong 23-02-2014 - 04:47

bài toán này thiên về kĩ thuật hơn là ý tưởng

quy đồng mẫu số 2 biểu thức, thu được $49-8(ab+bc+ca)+(a+b+c)abc\leq 64-16(ab+bc+ca)+4(a+b+c)abc-a^{2}b^{2}c^{2}$

tương đương $16+3(a+b+c)abc\geq a^{2}b^{2}c^{2}+8(ab+bc+ca)$

theo Schur, có $(a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc)(a+b+c)\geq (a+b+c)(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a))$

tương đương $3+3abc(a+b+c)\geq (ab+bc)^{2}+(bc+ca)^{2}+ca(c+a)^{2}$15+3abc(a+b+c)\geq 8(ab+bc+ca)$\geq 8(ab+bc+ca)-12$

suy ra $15+3abc(a+b+c)\geq 8(ab+bc+ca)$

từ giả thiết, dễ dàng suy ra $a^{2}b^{2}c^{2}\leq 1$

suy ra $16+3abc(a+b+c)\geq 8(ab+bc+ca)+1\geq 8(ab+bc+ca)+a^{2}b^{2}c^{2}$ đpcm 




#484069 Chứng minh bất đẳngg thức

Gửi bởi kfcchicken98 trong 19-02-2014 - 23:10

sử dụng $\sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \sqrt{3}\frac{a+b}{2}$




#483791 Cho 3 số dương a,b,c thỏa: $\sqrt{a}+\sqrt{b...

Gửi bởi kfcchicken98 trong 18-02-2014 - 07:01

$\frac{a}{\sqrt{a}+b+c}+\frac{b}{\sqrt{b}+a+c}+\frac{c}{\sqrt{c}+a+b}\geq \frac{a}{\sqrt{3(b+c+1)}}+\frac{b}{\sqrt{3(c+a+1)}}+\frac{c}{\sqrt{3(a+b+1)}}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\sqrt{3}(\sqrt{(a+b+c)(2ab+2bc+2ca+a+b+c)})}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\sqrt{3}\sqrt{(a+b+c)\frac{2}{3}(a+b+c)^{2}+\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}}=\frac{(a+b+c)^{2}}{\sqrt{3}\sqrt{(a+b+c)}(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{\sqrt{3(a+b+c)}}=\frac{\sqrt{a+b+c}}{\sqrt{3}}\geq 1$




#483788 \lim_{x\rightarrow 2}\left ( x-2 \right )cos...

Gửi bởi kfcchicken98 trong 18-02-2014 - 06:22

4 $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln (\cos 3x)}{\ln (\cos 5x)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos 5x}{\cos 3x}\frac{3\sin 3x}{5\sin 5x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos 5x}{\cos 3x}\frac{9\cos 3x}{25\cos 5x}=\frac{9}{25}$




#483427 Đề thi thử vào lớp 10 chuyên toán Hà Nộị - Amsterdam Chuyên Toán Vòng 2 Năm h...

Gửi bởi kfcchicken98 trong 16-02-2014 - 12:54

bài 5

$P=\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{y}}+\frac{\sqrt{y}}{2}+\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{1+\sqrt{x}}=\frac{x}{\sqrt{x}+\sqrt{xy}}+\frac{y}{2\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{1+\sqrt{x}}\geq \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+1+1)^{2}}{3\sqrt{x}+3\sqrt{y}+\sqrt{xy}+1}=\frac{(\sqrt{x}+1)^{2}+(\sqrt{y}+1)^{2}+2\sqrt{xy}+2\sqrt{x}+2\sqrt{y}+2}{3\sqrt{x}+3\sqrt{y}+\sqrt{xy}+1}\geq \frac{6\sqrt{x}+6\sqrt{y}+2\sqrt{xy}+2}{3\sqrt{x}+3\sqrt{y}+\sqrt{xy}+1}=2$




#483176 Tìm $\lim \frac{a_{n}}{\sqrt...

Gửi bởi kfcchicken98 trong 14-02-2014 - 23:43



Cho dãy số {an} được xác định bởi

$a_{1} = 1, a_{n+1} = a_{n} + \frac{1}{a_{n}} (n \geq 1)$

Tìm $\lim \frac{a_{n}}{\sqrt{2n}}$ và $\lim \frac{a_{1} + ... + a_{n}}{n\sqrt{n}}$

$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n}}{\sqrt{2n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}-a_{n}}{\sqrt{2n+2}-\sqrt{2n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\sqrt{2n+2}+\sqrt{2n}}{2a_{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{2}a_{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{2}a_{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\sqrt{2n}}{a_{n}}$

do lim a= lim $\frac{1}{a}$, suy ra lim a =1 

 

$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\sum a_{n}}{n\sqrt{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}}{(n+1)\sqrt{n+1}-n\sqrt{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}\left [ (n+1)\sqrt{n+1}+n\sqrt{n} \right ]}{3n(n+1)+1}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}2n\sqrt{n}}{3n(n+1)}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}}{\sqrt{2n+2}}\frac{\sqrt{2n+2}2\sqrt{n}}{3(n+1)}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2}{3}\sqrt{2}\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$




#482490 $a^2+b^2+c^2+a\sqrt{bc}+b\sqrt{ac}+c\...

Gửi bởi kfcchicken98 trong 11-02-2014 - 00:01

Mình nghĩ ý của bạn kaito kuroba là thế này

 giả sử bđt cần chứng minh đúng ta có

$\sum a^{2}+\sum a\sqrt{bc}\geq 2\sum ab\Rightarrow \sum a^{2}\geq 2\sum ab-\sum a\sqrt{bc}(1)$

$\sum a\sqrt{bc}\leq \sum ab$

nên từ (1) suy ra

$\sum  a^{2}\geq \sum ab$ luôn đúng

nếu giả sử bdt đúng thì cần CM làm gì nữa

với lại từ a^2+b^2+c^2 > ab+bc+ca thì cũng ko thể suy ra a^2+b^2+c^2+a căn bc + b căn ca + c căn ab > 2ab+2bc+2ca được do ab+bc+ca > a căn bc +b căn ca +c căn ab 




#482094 $\sum \frac{a}{b^2+c^2+a}\leq 1$

Gửi bởi kfcchicken98 trong 09-02-2014 - 01:45

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $abc=1$.Chứng minh rằng:

$\frac{a}{b^2+c^2+a}+\frac{b}{a^+c^2+b}+\frac{c}{a^2+b^2+c}\leq 1$

cách khác

đặt $a=\frac{1}{x}, b=\frac{1}{y}, c=\frac{1}{c}$

bđt tương đương $\frac{1}{xz^{2}+xy^{2}+y^{2}z^{2}}+\frac{1}{yz^{2}+yx^{2}+x^{2}z^{2}}+\frac{1}{y^{2}z+x^{2}z+x^{2}y^{2}}\leq 1$

có $\sum \frac{1}{xz^{2}+xy^{2}+y^{2}z^{2}}\leq \sum \frac{1}{2+y^{2}z^{2}}$

giờ cần cm $\sum \frac{1}{2+y^{2}z^{2}}\leq 1$

tương đương $\sum \frac{y^{2}z^{2}}{2+2y^{2}z^{2}}\geq 1$

có $\sum \frac{y^{2}z^{2}}{2+2y^{2}z^{2}}\geq \frac{(xy+yz+xz)^{2}}{6+\sum x^{2}y^{2}}\geq \frac{(xy+yz+xz)^{2}}{\sum x^{2}y^{2}+2xyz(x+y+z)}=1$

đpcm




#481936 $x_n=\frac{1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3...

Gửi bởi kfcchicken98 trong 08-02-2014 - 14:28

hoặc có thể sử dụng tốc độ của phương trình 

do $\ln x< x< x^{n}< n^{x}< x^{x}$

nên $\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{\ln x}{x}=0$




#481926 $x_n=\frac{1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3...

Gửi bởi kfcchicken98 trong 08-02-2014 - 13:49

Đã bảo ngoài L'Hopitale mà. Tìm cách kẹp . Chắc dễ ( khả năng là chơi Cauchy) .

$\lim_{a\rightarrow \infty }a^{\frac{1}{a}}=\lim_{a\rightarrow \infty }e^{\frac{\ln a}{a}}=e^{\lim_{a\rightarrow \infty }\frac{\ln a}{a}}=e^{\lim_{a\rightarrow \infty }\frac{\ln (a+1)-\ln a}{a+1-a}}=e^{\lim_{a\rightarrow \infty }\ln \frac{a+1}{a}}=e^{0}=1$

thay a=n+1