chanhquocnghiem

$2)$

Ta chứng minh bằng phản chứng.

Giả sử trong $n$ tập đã cho, bất kỳ tập nào cũng chứa ít nhất $1$ tập trong số các tập còn lại (ta tạm gọi đây là điều giả sử (1))

Gọi $m$ là số phần tử tối đa của $n$ tập đó.Xét tập $A_{p}$ là tập có $m$ phần tử ($A_{p}$ là một trong $n$ tập đã cho)

Giả sử $A_{p}$ chứa $A_{q}$ ($A_{p}\supset A_{q}$).Vì $A_{p}\neq A_{q}$ nên suy ra $\left | A_{p} \right |> \left | A_{q} \right |$

$A_{q}$ chứa $A_{r}$ ($A_{q}\supset A_{r}$).Vì $A_{q}\neq A_{r}$ nên suy ra $\left | A_{q} \right |> \left | A_{r} \right |$

$A_{r}$ chứa $A_{s}$ $\Rightarrow \left | A_{r} \right |> \left | A_{s} \right |$ ...

Cuối cùng ta có : $\left | A_{p} \right |> \left | A_{q} \right |> \left | A_{r} \right |> \left | A_{s} \right |> ...> \left | A_{i} \right |$

Vì $A_{i}$ là tập có ít phần tử nhất nên nó không chứa bất kỳ tập nào trong các tập còn lại.Vậy điều giả sử (1) sai $\Rightarrow$ đpcm.

$1)$

$a)$ Nếu $k\leqslant \frac{n+1}{2}$ :

+ Nếu $\bigcap_{H\in H_{k}}P_{H}=\varnothing$, ta có đpcm.

+ Nếu $\bigcap_{H\in H_{k}}P_{H}$ không phải tập rỗng.Gọi $a$ là một phần tử của nó.

   $a\in \bigcap_{H\in H_{k}}P_{H}\Rightarrow$ $a\in P_{H},\forall H\in H_{k}$ ($\left | H_{k} \right |=k$) $\Rightarrow$ trong $k$ tập bất kỳ (thuộc $n$ tập $X_{i}$ đã cho) luôn có ít nhất $1$ tập có chứa $a$.

Xét $n$ tập $X_{i}$ đã cho, gọi số tập có chứa $a$ là $C$, số tập không chứa $a$ là $K$, ta có :

$K\leqslant k-1\leqslant \frac{n-1}{2}\Rightarrow C\geqslant \frac{n+1}{2}\geqslant k\Rightarrow \exists Q_{H}$ ($H\in H_{k}$) sao cho $N\in Q_{H}\Rightarrow N\in \bigcup_{H\in H_{k}}Q_{H}$ (đpcm)

$b)$ Nếu $k\geqslant \frac{n+1}{2}$ :

+ Nếu $\bigcup_{H\in H_{k}}Q_{H}=\varnothing$, ta có đpcm.

+ Nếu $\bigcup_{H\in H_{k}}Q_{H}$ không phải tập rỗng.Gọi $a$ là một phần tử của nó.

   $a\in \bigcup_{H\in H_{k}}Q_{H}\Rightarrow$ $\exists H\in H_{k}:a\in Q_{H}\Rightarrow$ số tập có chứa $a$ (trong $n$ tập $X_{i}$) là $C\geqslant k\geqslant \frac{n+1}{2}$

$\Rightarrow$ số tập không chứa $a$ là $K\leqslant \frac{n-1}{2}\leqslant k-1$

$\Rightarrow a\in P_{H},\forall P_{H}$ ($H\in H_{k}$) $\Rightarrow a\in \bigcap_{H\in H_{k}}P_{H}$ (đpcm)

 

Tìm tập xác định của hàm số: 

y = $\sqrt{x + \sqrt{(x-1)^2 + \frac{3}{4}}}$

 

Trước hết ta thấy rằng $\sqrt{(x-1)^2+\frac{3}{4}}$ luôn luôn xác định với mọi $x$ (vì $\left ( x-1 \right )^2+\frac{3}{4}> 0,\forall x$)

Xét $2$ trường hợp :

$a)$ Nếu $x\geqslant 0$ : Khi đó hàm số đã cho xác định (vì $x+\sqrt{(x-1)^2+\frac{3}{4}}> 0,\forall x\geqslant 0$)

$b)$ Nếu $x< 0$ : Khi đó $\sqrt{(x-1)^2+\frac{3}{4}}> \sqrt{(x-1)^2}=\left | x-1 \right |> \left | x \right |=-x$

      $\Rightarrow x+\sqrt{(x-1)^2+\frac{3}{4}}> 0\Rightarrow$ hàm số đã cho cũng xác định khi $x< 0$

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là $D=\mathbb{R}$

1. Cho hàm f(x) xác định với mọi $x $ thuộc $R$. Biết rằng với mọi x ta có : $f(x)+3f(\dfrac{1}{x})=x^2$
Tính f(2).

2. So sánh $2^{30}+ 3^{30}+4^{30}$ và $3.24^{10}$

$1)$

Cho $x=2\Rightarrow f(2)+3f\left ( \frac{1}{2} \right )=4$ (1)

Cho $x=\frac{1}{2}\Rightarrow 3f(2)+f\left ( \frac{1}{2} \right )=\frac{1}{4}$ $\Rightarrow 9f(2)+3f\left ( \frac{1}{2} \right )=\frac{3}{4}$ (2)

(1),(2) $\Rightarrow 8f(2)=-\frac{13}{4}\Rightarrow f(2)=-\frac{13}{32}$

$2)$

Ta có : $3.24^{10}=3.\left ( 3.2^3 \right )^{10}=3^{11}.2^{30}=3^{11}.4^{15}< 4^{15}.4^{15}=4^{30}$

$\Rightarrow 2^{30}+3^{30}+4^{30}> 3.24^{10}$

Cho 11 số nguyên dương có tổng là $2013.$ Chứng minh rằng luôn có thể chọn ra trong chúng hai số $x,y$ sao cho $1 \leq  \frac{x}{y} <2.$

Nếu có thể hãy tổng quát bài toán .

Chọn ngẫu nhiên $2$ số $x,y$ trong $11$ số nguyên dương đó ($x\geqslant y$)

Giả sử rằng với mọi cách chọn, ta đều có $\frac{x}{y}\geqslant 2$

Điều đó có nghĩa là nếu xếp tất cả $11$ số đó từ nhỏ đến lớn thì mỗi số đều lớn hơn hoặc bằng "$2$ lần số đứng liền trước"

Số nhỏ nhất (đứng ở vị trí đầu tiên bên trái) lớn hơn hoặc bằng $1=2^{0}$

Số đứng ở vị trí thứ $n$ từ trái sang ($1\leqslant n\leqslant 11$) lớn hơn hoặc bằng $2^{n-1}$

$\Rightarrow$ tổng của $11$ số đó lớn hơn hoặc bằng $2^0+2^1+2^2+...+2^{10}=\frac{2^{11}-1}{2-1}=2047$ (mâu thuẫn với giả thiết)

$\Rightarrow$ điều giả sử sai $\Rightarrow$ có ít nhất $1$ cách chọn $x,y$ sao cho $1\leqslant \frac{x}{y}< 2$

Tổng quát : 

Cho $k$ số nguyên dương có tổng là $S< \frac{p^k-1}{p-1}$ ($k,p$ là số nguyên dương lớn hơn $1$).Chứng minh rằng luôn có thể chọn ra trong chúng $2$ số $x,y$ sao cho $1\leqslant \frac{x}{y}< p$.

(Cách giải hoàn toàn tương tự)

phương trình $x+2y+3z=2013$ có bao nhiêu nghiệm nguyên dương

Gọi số nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho là $k$.

Đặt $x'=x-1$ ; $y'=y-1$ ; $z'=z-1$

$\Rightarrow k$ cũng là số nghiệm tự nhiên của pt $x'+2y'+3z'=2007$ (1) ($x',y',z'\in \mathbb{N}$)

Lại đặt $m=x'+y'+z'$ ; $n=y'+z'$ ; $p=z'$

$\Rightarrow k$ là số nghiệm tự nhiên của pt $m+n+p=2007$ thỏa mãn điều kiện $m\geqslant n\geqslant p$

Xét pt $m+n+p=2007$ (2)

Nếu chưa xét đến điều kiện $m\geqslant n\geqslant p$ thì pt này có tất cả $C_{2009}^{2}$ nghiệm tự nhiên, trong đó :

+ Có đúng $1$ nghiệm thỏa mãn $m=n=p$

+ Có đúng $1003.C_{3}^{1}=3009$ nghiệm mà trong $3$ số $m,n,p$ có đúng $2$ số bằng nhau.

+ Có $C_{2009}^{2}-1-3009=2014026$ nghiệm mà trong đó $m,n,p$ khác nhau từng đôi một (suy ra có $\frac{2014026}{3!}=335671$ cách chọn $m,n,p$ sao cho $m> n> p$)

Nếu tính đến điều kiện $m\geqslant n\geqslant p$ thì số nghiệm tự nhiên của pt (2) là : $1+1003+335671=336675$

Vậy số nghiệm nguyên dương của pt đã cho là $k=336675$

Giả sử có $2n$ vân động viên tham dự một vòng đấu của giải bóng bàn, Hỏi có bao nhiêu cách ghép thành $n$ cặp đấu?

Số cách ghép thành $n$ cặp đấu là :

$\frac{C_{2n}^{2}.C_{2n-2}^{2}.C_{2n-4}^{2}...C_{2}^{2}}{n!}=\frac{[2n(2n-1)][(2n-2)(2n-3)]...[2.1]}{n!.2^n}=\frac{(2n)!}{(2n)!!}=(2n-1)!!$

---------------------------

Lưu ý : 

$(2n)!!=2.4.6.8...(2n)$ 

$(2n-1)!!=1.3.5.7...(2n-1)$

có 9 người bạn ăn ở 1 quán ăn có 3 món:cơm,phở,bún.Mỗi người ăn 1 món,hỏi có bao nhiêu cách gọi món

Gọi số người ăn cơm, phở, bún lần lượt là $a,b,c$ ($0\leqslant a,b,c\leqslant 9$)

$\Rightarrow$ số cách gọi chính là số nghiệm nguyên không âm của pt $a+b+c=9$

Xét các trường hợp :

+ Nếu $a=0\Rightarrow b+c=9$ : có $10$ cách để cho $b+c=9$

+ Nếu $a=1\Rightarrow b+c=8$ : có $9$ cách.

+ Nếu $a=2\Rightarrow b+c=7$ : có $8$ cách.

...................................................................

..................................................................

+ Nếu $a=9\Rightarrow b+c=0$ : có $1$ cách

$\Rightarrow$ số cách gọi món là $1+2+...+10=\frac{11.10}{2}=C_{11}^{2}=55$ cách.

Tổng quát : Số nghiệm nguyên không âm của pt $a+b+c=k$ là $C_{k+2}^{2}$

$1)$ Giả sử $a;b$ nguyên dương thay đổi và thỏa mãn: $\frac{ab+1}{a+b}<\frac{3}{2}$. Tìm Max

$$P=\frac{a^3b^3+1}{a^3+b^3}$$

 

 

 

• Với $a$ hoặc $b=1$ $\Rightarrow P=1$
• Ta có : $\frac{ab+1}{a+b}<\frac{3}{2}\Rightarrow 2ab+2< 3a+3b\Rightarrow 2ab+2-3a-3b<0\Leftrightarrow a\left ( 2b-3 \right )+2-3b< 0\Rightarrow 2a\left ( 2b-3 \right )+4-6b<0\Leftrightarrow 2a\left ( 2b-3 \right )-3\left (2b-3 \right )<5\Leftrightarrow \left ( 2a-3 \right )\left ( 2b-3 \right )<5\Rightarrow 0<2a-3,2b-3<5$$\Rightarrow 2\leq a,b\leq 4$

Giả sử $a\leq b\Rightarrow a=2\Rightarrow b\in\left \{ 2;3;4 \right \}$

Với $a=2,b=2\Rightarrow P=\frac{65}{16}$

Với $a=2,b=3\Rightarrow P=\frac{31}{5}$

Với $a=2,b=4\Rightarrow P=\frac{57}{8}$

$\Rightarrow P_{max}=\frac{57}{8}$

 

TL sai lầm từ chỗ $\left ( 2a-3 \right )\left ( 2b-3 \right )< 5$ 

Xin giải tiếp như sau :

Giả sử $a\leqslant b\Rightarrow -1\leqslant 2a-3\leqslant 2b-3$ (vì $a,b$ nguyên dương)

+ Nếu $2a-3=-1\Rightarrow a=1\Rightarrow P=1$ (1)

+ Nếu $2a-3=1\Rightarrow a=2$ :

   - Nếu $2b-3=1$ ($b=2$) $\Rightarrow P=\frac{65}{16}$ (2)

   - Nếu $2b-3=3$ ($b=3$) $\Rightarrow P=\frac{31}{5}$ (3)

So sánh (1),(2),(3) $\Rightarrow P_{max}=\frac{31}{5}$

Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng số đó có ba chữ số cuối giống nhau.
P/s: Xét đến TH tận cùng bằng 4 thì không biết cách tìm số hàng nghìn.

Giả sử $\overline{abbb}=\left ( \overline{mn} \right )^2=\left ( 10m+n \right )^2$ ($1\leqslant a\leqslant 9$ ; $b\in \left \{ 0;1;4;5;6;9 \right \}$ ; $3\leqslant m\leqslant 9$ ; $0\leqslant n\leqslant 9$)

Xét các trường hợp :

$1)$ $b$ lẻ ($b\in \left \{ 1;5;9 \right \}$) : Khi đó $n$ cũng lẻ và ta có

$\left ( 10m+n \right )^2=100m^2+20mn+n^2=\overline{abbb}$

Nhận xét rằng hai chữ số sau cùng của $100m^2$ là $\overline{00}$ ; của $20mn$ là $\overline{p0}$ ($p$ chẵn) ; của $n^2$ là $\overline{qb}$ ($q$ chẵn vì $n$ lẻ) $\Rightarrow$ cs hàng chục của $(10m+n)^2$ là số chẵn (vô lý).Vậy TH này không thể xảy ra.

$2)$ $b=0$ : Khi đó $\left ( 10m \right )^2=100m^2=\overline{a000}\Rightarrow m^2=\overline{a0}$ (vô nghiệm vì $3\leqslant m\leqslant 9$)

$3)$ $b=4$ : Khi đó $n=2$ hoặc $n=8$

+ $n=2$ : Ta có $\left ( 10m+2 \right )^2=100m^2+40m+4=\overline{a444}=1000a+444\Rightarrow 10m^2+4m=100a+44$

VP chia $10$ dư $4 \Rightarrow$ VT chia $10$ dư $4$ $\Rightarrow$ $m=6$ (vì $3\leqslant m\leqslant 9$).Thử lại $62^2=3844$ (loại)

+ $n=8$ : Ta có $\left ( 10m+8 \right )^2=100m^2+160m+64=\overline{a444}=1000a+444\Rightarrow 10m^2+16m=100a+38$

VP chia $10$ dư $8\Rightarrow$ VT chia $10$ dư $8\Rightarrow m=3$ và $m=8$.Thử lại $38^2=1444$ (thỏa mãn) ; $88^2=7744$ (loại)

$4)$ $b=6$ : Khi đó $n=4$ hoặc $n=6$

+ $n=4$ : $\left ( 10m+4 \right )^2=100m^2+80m+16=\overline{a666}\Rightarrow10m^2+8m=100a+65$ (vô nghiệm vì VT chẵn, VP lẻ)

+ $n=6$ : $\left ( 10m+6 \right )^2=100m^2+120m+36=\overline{a666}\Rightarrow 10m^2+12m=100a+63$ (vô nghiệm vì VT chẵn, VP lẻ)

Vậy chỉ có $1$ đáp án duy nhất là $1444=38^2$

Trong kì thi tuyển sinh Đại Học, một thí sinh tên An làm bài trắc nghiệm môn Lý với $50$ câu. An đã khoanh tròn được $30$ câu và chắc đúng $20$ câu. Những giây cuối cùng trước khi nộp bài, An đã khoanh lụi $20$ câu còn lại. Tính xác suất để An có được $7$ điểm nếu:

$a)$ An khoanh kịp hết $20$ câu còn lại

$b)$ An chỉ khoanh được $18/20$ câu còn lại

$c)$ An chỉ khoanh được nhiều nhất $16/20$ câu còn lại.

Sau đây, ta hiểu rằng có được 7 điểm tức là được ít nhất 7 điểm

Do An đã chắc chắn đúng $20$ câu nên An chắc chắn đã được $4$ điểm. Để được ít nhất $7$ điểm, An cần ít nhất $3$ điểm, tương ứng với $15$ câu đúng nữa.

Do $10$ câu còn lại trong $30$ câu lúc đầu cũng chưa rõ là đúng hay sai nên tổng cộng An có $30$ câu chưa biết chắc.

 

Gọi $X(n)$ là xác suất An có ít nhất 15 câu đúng từ $n$ câu còn lại. Ta có:

$$X(n) =\sum_{k=15}^{n} C_{n}^{k}\left ( \frac{1}{4} \right )^{k}\left ( \frac{3}{4} \right )^{n-k}$$

 

a) Xác suất để An thu được ít nhất $15$ câu đúng từ $30$ câu là:

\begin{align*}P(A) &= X(30) \\&=\sum_{k=15}^{30} C_{30}^{k}\left ( \frac{1}{4} \right )^{k}\left ( \frac{3}{4} \right )^{30-k}\\&=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}C_{30}^{15}\left(\frac{3}{16} \right )^{15} \\&\approx  0,500965\end{align*}

 

b) Tương tự a) ta có

$$P(B)=X(28) =\frac{1}{2}-\frac{1}{2}C_{28}^{14}\left(\frac{3}{16} \right )^{14} \approx  0,4987$$

 

 

c) Ta có:

$$P(C) = 1 - X(27) - X(28) - X(29) - X(30)$$

Xác suất trúng ít nhất $15$ câu trong $30$ câu "khoanh lụi" không thể cao thế được !

Vả lại, nếu tính như thế thì ở câu c, $P(C)$ âm mất (!)

Mình xin sửa lại như sau :

$a)$ XS cần tính là :

 $P(A)=\sum_{k=15}^{30}C_{30}^{k}\left ( \frac{1}{4} \right )^k.\left ( \frac{3}{4} \right )^{30-k}=\sum_{k=0}^{15}C_{30}^{k}\left ( \frac{1}{4} \right )^{30-k}.\left ( \frac{3}{4} \right )^k=\frac{1}{4^{30}}\sum_{k=0}^{15}C_{30}^{k}.3^k\approx 0,002750$

$b)$ XS cần tính là :

$P(B)=\sum_{k=15}^{28}C_{28}^{k}\left ( \frac{1}{4} \right )^k.\left ( \frac{3}{4} \right )^{28-k}=\sum_{k=0}^{13}C_{28}^{k}\left ( \frac{1}{4} \right )^{28-k}.\left ( \frac{3}{4} \right )^k=\frac{1}{4^{28}}\sum_{k=0}^{13}C_{28}^{k}.3^k\approx 0,001119$

$c)$ Gọi $P(C)$ là XS An đạt ít nhất $7$ điểm khi khoanh được $m$ câu trong $20$ câu cuối cùng ($m\leqslant 16$)

+ Nếu $0\leqslant m\leqslant 4$ thì trong $m+10$ câu đó không thể đúng $15$ câu được $\Rightarrow P\left ( C \right )=0$

+ Khi $m=5$ thì $P(C)=C_{15}^{15}\left ( \frac{1}{4} \right )^{15}\approx 9,3.10^{-10}$

+ Khi $m$ tăng thì $P(C)$ cũng tăng dần.

+ Khi $m=16$ thì :

$P(C)=\sum_{k=15}^{26}C_{26}^{k}\left ( \frac{1}{4} \right )^k.\left ( \frac{3}{4} \right )^{26-k}=\sum_{k=0}^{11}C_{26}^{k}\left ( \frac{1}{4} \right )^{26-k}.\left ( \frac{3}{4} \right )^k=\frac{1}{4^{26}}\sum_{k=0}^{11}C_{26}^{k}.3^k\approx 0,000390$

Vậy có thể trả lời rằng nếu trong $20$ câu cuối cùng, An chỉ khoanh được nhiều nhất $16$ câu (bỏ ít nhất $4$ câu không khoanh) thì XS An đạt ít nhất $7$ điểm chỉ có KHÔNG QUÁ $0,000390$.

(Nếu bỏ ít nhất $16$ câu thì XS đạt ít nhất $7$ điểm là $0$ ; nếu chỉ bỏ $4$ câu thì XS đạt ít nhất $7$ điểm là $0,000390$)

Có bao nhiêu số có n chữ số chia hết cho 3 tạo từ các số 3,4,5,6

Ta xét hệ đếm cơ số $4$ gồm $4$ chữ số là $\overline{3},\overline{4},\overline{5},\overline{6}$ lần lượt có các giá trị là $0,1,2,3$ trong hệ đếm đó.

Giá trị của số $\overline{3}\overline{3}\overline{3}...\overline{3}_{(4)}$ (gồm $n$ chữ số $\overline{3}$) trong hệ đếm đó bằng $0$ trong hệ thập phân.

Giá trị của số $\overline{6}\overline{6}\overline{6}...\overline{6}_{(4)}$ (gồm $n$ chữ số $\overline{6}$) trong hệ đếm đó bằng $4^n-1$ trong hệ thập phân.

Vậy đáp án là $M=\left \lfloor \frac{4^n-1}{3} \right \rfloor-\left \lfloor \frac{0}{3} \right \rfloor+1=\left \lfloor \frac{4^n+2}{3} \right \rfloor$

Trong đó $\left \lfloor m \right \rfloor$ nghĩa là " phần nguyên " của số $m$ (số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $m$)

Tính tổng sau :

$A= (C_{2n}^{0})^{2}+(C_{2n}^{1})^{2}+...+(C_{2n}^{n})^{2}$

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Xét $2$ tập không giao nhau, mỗi tập có $2n$ phần tử : $X=\left \{ x_{1},x_{2},...,x_{2n} \right \}$ và $Y=\left \{ y_{1},y_{2},...,y_{2n} \right \}$

Ta tính số cách lấy tổng cộng $2n$ phần tử từ cả $2$ tập hợp đó sao cho số phần tử lấy từ $X$ nhỏ hơn hoặc bằng số phần tử lấy từ $Y$ (gọi số cách này là $S$)

+ Lấy $0$ pt từ $X$ và $2n$ pt từ $Y$ : $\left ( C_{2n}^{0} \right )^2$ cách.

+ Lấy $1$ pt từ $X$ và $2n-1$ pt từ $Y$ : $\left ( C_{2n}^{1} \right )^2$ cách.

+ Lấy $2$ pt từ $X$ và $2n-2$ pt từ $Y$ : $\left ( C_{2n}^{2} \right )^2$ cách.

......................................................................................................................

.....................................................................................................................

+ Lấy $n$ pt từ $X$ và $n$ pt từ $Y$ : $\left ( C_{2n}^{n} \right )^2$ cách.

Vậy $S=A=\left ( C_{2n}^{0} \right )^2+(C_{2n}^{1})^2+(C_{2n}^{2})^2+...+(C_{2n}^{n})^2$ 

Mặt khác $S$ có thể tính theo cách khác như sau :

Gọi $S_{1}$ là số cách lấy tổng cộng $2n$ pt từ $X$ và $Y$ sao cho số pt từ $X$ nhỏ hơn số pt từ $Y$.

$S_{2}$ là số cách lấy tổng cộng $2n$ pt từ $X$ và $Y$ sao cho số pt từ $X$ lớn hơn số pt từ $Y$.

Ta có $C_{4n}^{2n}=S_{1}+(C_{2n}^{n})^2+S_{2}$ (1) ; $S=S_{1}+(C_{2n}^{n})^2$ (2)

Do tính đối xứng nên $S_{1}=S_{2}$ và từ (1) suy ra $C_{4n}^{2n}=2S_{1}+(C_{2n}^{n})^2$ (3)

(2),(3) $\Rightarrow S=\frac{C_{4n}^{2n}+(C_{2n}^{n})^2}{2}$ (4)

Vậy $A=\frac{C_{4n}^{2n}+(C_{2n}^{n})^2}{2}$ 

Tìm trung bình cộng của các số có 9 chữ số , trong đó có 5 chữ số 5 và 4 chữ số 4 ?

Số số tự nhiên có $9$ chữ số (cs) gồm $5$ cs $5$ và $4$ cs $4$ là $C_{9}^{5}=C_{9}^{4}=126$ số.

Xét trong $126$ số đó, ở mỗi hàng bất kỳ (từ hàng đơn vị đến hàng trăm tỷ), cs $5$ xuất hiện $C_{8}^{4}=70$ lần và cs $4$ xuất hiện $C_{8}^{3}=56$ lần.

Vậy tổng của $126$ số đó là $S=\left ( 5.70+4.56 \right ).111111111=574.111111111$

Và trung bình cộng của $126$ số đó là $\frac{S}{126}=\frac{41}{9}.111111111=506172839$

 

Có 12 sản phẩm trong kiện hàng,trong đó có 5 chính phẩm,7 phế phẩm.Lấy ngẫu nhiên có hoàn lại các sản phẩm trong kiện đến khi lấy được chính phẩm hoặc lấy đủ 4 sản phẩm thì dừng lại.Tính xác suất dừng lại ở lần thứ 3 nếu biết rằng đã lấy ra ít nhất 2 sản phẩm cho đến khi dừng ?

 

A.42/163         B.43/163              C.44/163            D.Tất cả đều sai

 

•  

 

Gọi $M$ là biến cố dừng lại ở lần thứ nhất.

$N$ là biến cố dừng lại ở lần thứ hai.

$Q$ là biến cố dừng lại ở lần thứ ba.

$R$ là biến cố dừng lại ở lần thứ tư.

$S$ là biến cố đã lấy ra ít nhất $2$ sản phẩm.

Cách 1 :

$P(N)=\frac{7}{12}.\frac{5}{12}=\frac{35}{144}=\frac{420}{1728}$

$P(Q)=\frac{7}{12}.\frac{7}{12}.\frac{5}{12}=\frac{245}{1728}$

$P(R)=\left ( \frac{7}{12} \right )^3=\frac{343}{1728}$ (vì chỉ cần lấy đến sp thứ tư thì chắc chắn sẽ dừng ở lần thứ tư, dù lần đó lấy được chính phẩm hay phế phẩm)

$P(S)=P(N)+P(Q)+P(R)=\frac{1008}{1728}$ (vì lấy ra ít nhất $2$ sp tức là phải dừng lại ở lần thứ hai, thứ ba hoặc thứ tư)

XS cần tính là $P(Q/S)=\frac{P(Q)}{P(S)}=\frac{245}{1008}=\frac{35}{144}$

Cách 2 :

$P(M)=\frac{5}{12}$

$P(S)=P(\overline{M})=1-\frac{5}{12}=\frac{7}{12}$ (vì lấy ra ít nhất $2$ sp tức là không dừng lại ở lần thứ nhất)

$P(Q)=\frac{7}{12}.\frac{7}{12}.\frac{5}{12}=\frac{245}{1728}$

XS cần tính là $P(Q/S)=\frac{P(Q)}{P(S)}=\frac{\frac{245}{1728}}{\frac{7}{12}}=\frac{245}{1008}=\frac{35}{144}$

Ta có cách xác định chân đường cao của các khối chóp có tính chất đặc biệt như:

• Chóp có 1 mặt bên vuông góc với đáy
• Chóp có 2 mặt bên kề nhau vuông góc với đáy
• Chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau
• Chóp có 2 mặt bên kề nhau tạo với đáy những góc bằng nhau
• Chóp có tất cả các mặt đều hợp với đáy những góc bằng nhau
• ...

Nhưng cách xác định chân đường cao của khối chóp thông thường thì như thế nào? Các bạn chỉ mình với!

 

Ví dụ 1:

Một khối chóp tam giác có các cạnh đáy là 6, 8, 10. Một cạnh bên có độ dài bằng 4 và tạo với đáy góc 60⁰. Tính thể tích khối chóp

Ví dụ 2:

Cho chóp S.ABC có AB=AC=a, BC=$\frac{a}{2}$ , SA=. $a\sqrt{3}$, $\widehat{SAB}=\widehat{SAC}$=30⁰. Tính thể tích khối chóp

$1)$

Đáy là tam giác vuông $\Rightarrow$ diện tích đáy là $S=\frac{8.6}{2}=24$

Chiều cao ứng với đáy đó là $h=4.\sin60^o=2\sqrt{3}$

Vậy thể tích khối chóp là $V=\frac{Sh}{3}=16\sqrt{3}$

$2)$

Gọi $Q$ là trung điểm của $SA$ $\Rightarrow V(S.ABC)=2V\left ( Q.ABC \right )$ (vì khoảng cách từ $S$ đến mặt $(ABC)$ gấp đôi khoảng cách từ $Q$ đến $(ABC)$)

$AQ=\frac{a\sqrt{3}}{2};AB=a$

Kẻ $BP$ _|_ $AS$ ($P\in AS$) $\Rightarrow AP=AB\cos30^o=\frac{a\sqrt{3}}{2}=AQ\Rightarrow P\equiv Q\Rightarrow AQ$ _|_ $BQ$ $\Rightarrow BQ=\sqrt{AB^2-AQ^2}=\frac{a}{2}$

Tương tự cũng chứng minh được $AQ$ _|_ $CQ$ và $CQ=\frac{a}{2}$

Vậy $\Delta QBC$ đều và $S\left ( QBC \right )=\frac{a^2\sqrt{3}}{16}$

$V\left ( Q.ABC \right )=V(A.QBC)=\frac{AQ.S(QBC)}{3}=\frac{a^3}{32}$

$\Rightarrow V(S.ABC)=2V(Q.ABC)=\frac{a^3}{16}$