Đến nội dung

chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

Đăng ký: 27-09-2013
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

#459521 $\min\limits_m\max\limits_x \dfrac{|(1-m)x...

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 23-10-2013 - 22:14

Bài này là THCS mà các bạn :D

Vậy xin giải lại theo cách THCS :

Ta có $y=\frac{\left | (1-m)x^2+4x+4-m \right |}{x^2+1}=\left | \frac{(1-m)x^2+4x+4-m}{x^2+1} \right |=\left | 1-m+\frac{4x+3}{x^2+1} \right |$

Mặt khác $(x+2)^2=x^2+4x+4\geqslant 0\rightarrow 4x+3\geqslant -x^2-1\rightarrow \frac{4x+3}{x^2+1}\geqslant -1$ (1)

Và $(2x-1)^2\geqslant 0\rightarrow 4x^2-4x+1\geqslant 0\rightarrow 4x+3\leqslant 4x^2+4\rightarrow \frac{4x+3}{x^2+1}\leqslant 4$ (2)

(1),(2) ---> $-1\leqslant \frac{4x+3}{x^2+1}\leqslant 4$ ---> $-m\leqslant 1-m+\frac{4x+3}{x^2+1}\leqslant 5-m$

---> GTLN của $y$ là số lớn nhất trong 2 số $\left | -m \right |$ và $\left | 5-m \right |$.Xét các trường hợp :

$a)m< 0$.Khi đó $\left | -m \right |< \left | 5-m \right |$ ---> GTLN của $y$ là $\left | 5-m \right |> 5$

$b)0\leqslant m\leqslant \frac{5}{2}$.Khi đó $\left | -m \right |\leqslant \left | 5-m \right |=5-m$ ---> GTLN của y là $5-m\geqslant \frac{5}{2}$

$c)m> \frac{5}{2}$.Khi đó $\left | 5-m \right |< \left | -m \right |=m$ ---> GTLN của y là $m> \frac{5}{2}$

Từ 3 trường hợp trên ---> GTLN của y nhỏ nhất là bằng $\frac{5}{2}$ khi $m=\frac{5}{2}$.




#459434 CMR Nếu n là số nguyên và n là số chính phương , thì n+2 không phải là số chí...

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 23-10-2013 - 16:46

Cho em hỏi thêm tí nhé , cái em vừa hỏi thì người ta xem nó thuộc lĩnh vực nào , là thuộc phương trình nghiệm phải không?
Cũng như hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn $\left\{\begin{matrix} ax & + & by = c\\ ux &+ &vy =z \end{matrix}\right.$  , em muốn chứng minh chỉ có tồn tại một cặp nghiệm (x,y) duy nhất thõa mãn thì em nên đọc cái sách nào , thuộc linh vực nào ( đại số tuyến tính , số học...? ) ạ ?

Các bài toán có liên quan đến số chính phương thì thuộc về Số học.

Còn hệ phương trình thì thuộc về Đại số.

Tuy nhiên, trong Toán học cũng không có sự phân định rạch ròi giữa các lĩnh vực.

Chẳng hạn về số nghiệm của phương trình bậc nhất 2 ẩn thì có thể thấy trong các sách Đại số, Giải tích hoặc Hình học giải tích.




#459384 $\min\limits_m\max\limits_x \dfrac{|(1-m)x...

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 23-10-2013 - 09:14

Tìm $m$ để GTLN của $y=\dfrac{|(1-m)x^2 +4x + 4 -m|}{x^2 +1}$ là nhỏ nhất.

Ta có $y=\frac{\left | (1-m)x^2+4x+4-m \right |}{x^2+1}=\left | \frac{(1-m)x^2+4x+4-m}{x^2+1} \right |=\left | 1-m+\frac{4x+3}{x^2+1} \right |$

Xét hàm số $z=g(x)=1-m+\frac{4x+3}{x^2+1}$

$g{}'(x)=\frac{4(x^2+1)-2x(4x+3)}{(x^2+1)^2}=\frac{-4x^2-6x+4}{(x^2+1)^2}$

$g{}'(x)> 0\Leftrightarrow x\in (-2;\frac{1}{2})$ ; $g{}'(x)< 0\Leftrightarrow x< -2$ hoặc $x> \frac{1}{2}$

---> GTCT của $z$ là $g(-2)=-m$ ; GTCĐ của z là $g(\frac{1}{2})=5-m$

Khi x tiến đến âm vô cực và dương vô cực thì z tiến đến $1-m$

Vậy GTNN của z là $-m$ ; GTLN của z là $5-m$

Xét hàm số $y=f(x)=\left | g(x) \right |$.Có các trường hợp :

$a)$ Nếu $m< 0\rightarrow -m> 0$ ---> GTLN của $y$ là $5-m$ > $5$ (1)

$b)$ Nếu $0\leqslant m\leqslant \frac{5}{2}$.Khi đó $m\leqslant 5-m$ ---> GTLN của $y$ là $5-m\geqslant \frac{5}{2}$ (2)

$c)$ Nếu $m> \frac{5}{2}$.Khi đó $m> 5-m$ ---> GTLN của $y$ là $m> \frac{5}{2}$ (3)

(1),(2),(3) ---> GTLN của $y$ nhỏ nhất bằng $\frac{5}{2}$ khi $m=\frac{5}{2}$




#459324 Chứng minh: $\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{...

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 22-10-2013 - 21:48

Vậy là bài giải sai rùi phải hk? Mình chứng minh dc >3,8 chắc làm tròn là 4 luôn quá? Có ai biết chỉ mình với?

Đặt $S_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+...+\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}$

$S_{2}=\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}+...+\frac{1}{\sqrt{80}+\sqrt{81}}$

---> $S_{1}+S_{2}=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+...+\frac{1}{\sqrt{80}+\sqrt{81}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{4}+...+\sqrt{81}-\sqrt{80}=\sqrt{81}-\sqrt{3}$

Dễ thấy $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}> \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}$; $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}> \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{8}}$; ...

---> $S_{1}> S_{2}$ ---> $S_{1}> \frac{S_{1}+S_{2}}{2}=\frac{\sqrt{81}-\sqrt{3}}{2}=\frac{9-\sqrt{3}}{2}$

Vế trái của BĐT đã cho là $S=S_{1}+\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}=S_{1}+\sqrt{2}-1> \frac{9-\sqrt{3}}{2}+\sqrt{2}-1=\frac{7+2\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2}$

Vì $2\sqrt{2}-\sqrt{3}> 1$ nên ta có $S> \frac{7+1}{2}=4$




#459287 Cách chọn học sinh dự cháu ngoan Bác Hồ

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 22-10-2013 - 20:25

Một trường tiểu học có 50 cháu đạt danh hiệu cháu ngoan bác hồ. trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi. Cần chọn một nhóm 3 học sinh đi dự đại hội cháu ngoan bác hồ sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào. Hỏi có bao nhiêu cách chọn

Số cách chọn $3$ hs một cách ngẫu nhiên là $M=C_{50}^{3}$

Số cách chọn $3$ hs sao cho trong đó có $1$ cặp sinh đôi là $N=C_{50}^{3}-C_{4}^{1}.C_{48}^{1}$

Đáp án là $P=M-N=C_{50}^{3}-4.48=19408$ cách chọn.




#459210 CMR Nếu n là số nguyên và n là số chính phương , thì n+2 không phải là số chí...

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 22-10-2013 - 14:58

Có cách nào chứng minh phương trình  b- akhông có nghiệm nguyên không mọi người ?

Giả sử phương trình $b^2-a^2=2$ (1) có nghiệm $(a;b)$ trong đó $a,b\in Z$

$a,b\in Z\rightarrow a+b\in Z;a-b\in Z$

(1) ---> $(a+b)(a-b)=2.1=1.2=(-1).(-2)=(-2).(-1)$

Vì $a+b$ và $a-b$ đều thuộc $Z$ nên chỉ có $4$ trường hợp :

a) $a+b=2;a-b=1$

b) $a+b=1;a-b=2$

c) $a+b=-1;a-b=-2$

d) $a+b=-2;a-b=-1$

Cả $4$ trường hợp đều mâu thuẫn với giả thiết ($a,b\in Z$)

---> pt (1) không có nghiệm nguyên.




#459209 Tìm số k nhỏ nhất sao cho với mọi tập con A gồm k phần tử của X thì đều tồn t...

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 22-10-2013 - 14:26

Cho X là tập các số tự nhiên lẻ không chia hết cho 5 và nhỏ hơn 30 .Tìm số k nhỏ nhất sao cho với mọi tập con A gồm k phần tử của X thì đều tồn tại hai số trong A chia hết cho nhau

Tập $X$ gồm tất cả $12$ phần tử : $1;3;7;9;11;13;17;19;21;23;27;29$

Giả sử $A\subset X$, $A$ có $k$ phần tử và tồn tại $a,b\in A$ sao cho $a=n.b$ ($n\in N$)

Vì các phần tử của $A$ đều là số lẻ và $a\neq b$ (dĩ nhiên) nên giá trị nhỏ nhất có thể của $n$ là $3$.

Phần tử lớn nhất thuộc $X$ chia hết cho $3$ là $27$

Ước lớn nhất của $27$ (không kể chính nó) là $9$

Gọi $Y$ là tập con của $X$ gồm các phần tử $y_{i}$ thỏa mãn $9\leqslant y_{i}\leqslant 29$ ---> $Y$ có $9$ phần tử.

Vậy GTNN của $k$ thỏa mãn ĐK bài toán là $9$.




#459188 Cho tam giác ABC biết M(\frac{1}{2};-1),N(\frac...

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 22-10-2013 - 10:28

Viết pt các đường trung trực của tam giác ABC

$M(\frac{1}{2};-1),N(\frac{3}{2};-2),P(0;1)$

---> $NP:2x+y-1=0; MP:4x+y-1=0; MN:x+y+\frac{1}{2}=0$

Gọi $m,n,p$ là các đường trung trực đi qua $M,N,P$ ---> $m$ _|_ $NP$, $n$ _|_ $MP$, $p$ _|_ $MN$

---> $m:x-2y-\frac{5}{2}=0$ hay $m:2x-4y-5=0$;

$n:x-4y-\frac{19}{2}=0$ hay $n:2x-8y-19=0$;

$p:x-y+1=0$




#459183 CMR Nếu n là số nguyên và n là số chính phương , thì n+2 không phải là số chí...

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 22-10-2013 - 07:46

Tình hình là do em đang học các cách chứng mình toán học cơ bản nên em đang đọc Chap1.7 của cuốn Discrete Mathematics and Its Application của Kenneth. Em đang làm cái bài tập bằng phương pháp phản chứng ( proof by contradiction ) ạ .

Bài tập: Nếu n là số nguyên( khác 0 ) và n là số chính phương , thì n+2 không phải là số chính phương !

 

Em chứng minh thế này nhưng rất kì cục , mọi người góp ý dùm em :

Giả sử n là số chính phương , tức tồn tại a sao cho $a \in N$ và a2=n

Giả sử n+2 là số chính phương , tức tồn tại b sao cho $b \in N$ và b2=n+2

 

Ta có n=b2-2=a2  $\Leftrightarrow$  b2-a2=2 .

  $a,b \in N$ nên   b>a , vậy b=a+x ,  với $x \in N$

Thay b=a+x vào b2-a2=2 , ta có b2-a2=2ax+x2=2.

Đến đây ta có mâu thuẫn do không tồn tại a và x  sao cho 2ax+x2=2 vì Min (2ax+x2 )=3 với a=1 và x=1. Đến đây thì em thấy lập luận của em quá lỏng lẻo đoạn Min , mọi người thấy em phải lý luận như thế nào cho nên ? Và hướng khác đẹp hơn để chứng minh cho bài này ạ.

Lập luận như thế cũng được, nhưng để chặt chẽ hơn thì

Dòng đầu tiên nên sửa là : Giả sử $n$ là số chính phương khác $0$, tức tồn tại $a\in N^{+}$ sao cho $a^2=n$

Chỗ b = a+x, với $x\in N$ nên sửa thành $x\in N^{+}$ (vì $b> a$)

Và ở đoạn dưới : $b^2-a^2=2ax+x^2=x(2a+x)\geqslant 1.(2.1+1)=3$

 

Cách khác :

Giả sử $n$ và $n+2$là số chính phương ($n\neq 0$) ---> $n=a^2$ ; $n+2=b^2$ ($a,b\in N^{+}$)

---> $b^2-a^2=2$ ---> $(b+a)(b-a)=2.1$ ---> $b+a=2;b-a=1$ ---> $b=\frac{3}{2};a=\frac{1}{2}$ (vô lý vì $a,b\in N^+$)

---> Điều giả sử sai ---> Không tồn tại $n$ và $n+2$ cùng là số chính phương, với mọi $n\in N^+$ (thực ra điều đó cũng cũng đúng với mọi $n\in N$)




#459170 CMR số $\sqrt{n}+\sqrt{n+4}$ không ph...

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 21-10-2013 - 23:07

CMR số $\sqrt{n}+\sqrt{n+4}$ không phải là số nguyên dương với mọi số nguyên dương n

Giả sử $A=\sqrt{n}+\sqrt{n+4}$ (với $n$ nguyên dương) là 1 số nguyên dương

---> $A^2=2n+4+2\sqrt{n^2+4n}=2n+4+2\sqrt{(n+2)^2-4}$ là số nguyên dương

---> $(2n+4)^2-16=k^2$ ($k\in N$) ---> $(2n+4)^2-k^2=16$ ---> $(2n+k+4)(2n-k+4)=4.4=8.2=16.1$ ---> k = 0 ---> n = 0 (trái giả thiết n nguyên dương)

Vậy $A=\sqrt{n}+\sqrt{n+4}$ không phải là số nguyên dương ($\forall n$ nguyên dương)




#459141 Có ? số có 5 chữ số pb, trong đó có 1,2,3

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 21-10-2013 - 21:17

Đúng rồi ! Không sai đâu !

Thực ra dùng chỉnh hợp hay tổ hợp không quan trọng, quan trọng là cách làm có đúng không ?

Như bài trên dùng tổ hợp và hoán vị (cũng là một loại chỉnh hợp)

Còn nếu muốn chỉ dùng chỉnh hợp (và hoán vị) thì có thể làm theo cách sau :

 

Xét 2 TH :

1) Trong $5$ chữ số (cs) không có cs $0$

...+ Chọn $3$ vị trí và xếp 3 cs $1;2;3$ vào đó (có $A_{5}^{3}$ cách)

...+ Chọn $2$ trong $6$ cs ($4;5;6;7;8;9$) và xếp vào 2 vị trí còn lại (có $A_{6}^{2}$ cách)

2) Trong $5$ cs có mặt cs $0$

...+ Chọn vị trí cho cs $0$ (có $4$ cách)

...+ Chọn thêm $1$ trong $6$ cs ($4;5;6;7;8;9$) (có $6$ cách)

...+ Xếp cs đó cùng $3$ cs $1;2;3$ vào $4$ chỗ còn lại (có $4!$ cách)

Vậy kết quả là : $A_{5}^{3}.A_{6}^{2}+4.6.4!=2376$




#459023 Có 9 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 9,chọn ngẫu nhiên 2 tấm thẻ.Tính xác suất để tí...

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 21-10-2013 - 11:27

hay quá .Nếu đề hỏi là có bao nhiêu cách chọn thì sao bạn?

Ở cách 1 đã có nói rồi :

Số cách chọn 2 trong 9 thẻ là $C_{9}^{2}=36$

Số cách chọn sao cho tích số của 2 thẻ là số chẵn là $36-C_{5}^{2}=26$




#459021 Chứng minh :$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{1}{k+1}=...

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 21-10-2013 - 11:20

Chứng minh :$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{1}{k+1}=\frac{2^{n+1}-1}{n+1}$

Ta có :

$C_{n+1}^{0}+C_{n+1}^{1}+C_{n+1}^{2}+...+C_{n}^{n}=2^{n+1}$

---> $C_{n+1}^{1}+C_{n+1}^{2}+...+C_{n}^{n}=2^{n+1}-1$

hay $(n+1)+\frac{(n+1).n}{1.2}+\frac{(n+1).n.(n-1)}{1.2.3}+...+\frac{(n+1).n.(n-1)...2.1}{1.2.3...n.(n+1)}=2^{n+1}-1$

---> $1+\frac{n}{1.2}+\frac{n.(n-1)}{1.2.3}+...+\frac{n.(n-1)...2.1}{1.2.3...n.(n+1)}=\frac{2^{n+1}-1}{n+1}$

---> $\frac{C_{n}^{0}}{1}+\frac{C_{n}^{1}}{2}+\frac{C_{n}^{2}}{3}+...+\frac{C_{n}^{n}}{(n+1)}=\frac{2^{n+1}-1}{n+1}$

---> $\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}.\frac{1}{k+1}=\frac{2^{n+1}-1}{n+1}$ hay $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{1}{k+1}=\frac{2^{n+1}-1}{n+1}$




#459005 Có 9 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 9,chọn ngẫu nhiên 2 tấm thẻ.Tính xác suất để tí...

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 21-10-2013 - 08:30

Kết quả 4.194.304 cách chọn có phải đúng.Mình mới học tổ hợp :)

Cách 1 :

.Số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{9}^{2}=36$

Gọi $M$ là biến cố tích $2$ số trên $2$ tấm thẻ là số chẵn.Ta tính $n(\overline{M})$

Tích 2 số là lẻ $\Leftrightarrow$ cả $2$ số đều lẻ.

Từ $1$ đến $9$ có $5$ số lẻ ---> $n(\overline{M})=C_{5}^{2}=10\Rightarrow n(M)=36-10=26$

---> XS cần tính là $P(M)=\frac{n(M)}{n(\Omega )}=\frac{13}{18}$

 

Cách 2 :

Trước hết tính $P(\overline{M})$

+ XS để thẻ thứ nhất mang số lẻ là $\frac{5}{9}$

+ XS để thẻ thứ hai cũng mang số lẻ nếu thẻ thứ nhất đã mang số lẻ là $\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$

---> $P(\overline{M})=\frac{5}{9}.\frac{1}{2}=\frac{5}{18}$

---> $P(M)=1-\frac{5}{18}=\frac{13}{18}$




#458894 Chứng minh rằng sau một số hữu hạn các bước chuyển ta nhận được tập $X...

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 20-10-2013 - 19:03

Gọi $M$ là tập hợp các tập con ban đầu.

Ta chia $M$ thành $2$ tập : Tập $P=\{x | x\mod 2=0, x\in M \}$ và tập $Q=\{x | x\mod 2=1, x\in M \}$

Gọi số phần tử của $Q$ là $q$.

Dễ thấy là $q$ chẵn.

1)Nếu $q=0$ ta có các tập của $M$ đều có số phần tử là bội của 2.

2)Nếu $q=2k>0$ ta chọn 2 tập bất kỳ thuộc $Q$ và thực hiện phép chuyển.

$\quad$ a)Nếu 2 tập đó có số phần tử bằng nhau thì chúng sẽ hợp thành 1 tập có số phần tử là bội của 2

$\quad$ b)Nếu 2 tập đó có số phần tử là $2m+1$ và $2n+1;\; (m>n)$ thì sau phép chuyển ta có 2 tập có số p tử là $2(m-n)$ và $4n+2$ đều là bội của 2.

Như vậy sau $k$ phép chuyển $(k ge 0)$, ta nhận được các tập con có số phần tử đều là bội của 2.

Gọi $M_1$ là tập các tập con đó.

Ta lại chia $M_1$ thành 2 tập : Tập $P_1$ gồm các tập con có số p tử là bội của $2^2$; tập $Q_1$ gồm các tập con có số p tử là bội của $2^2$ cộng thêm 2.

Gọi $q_1$ là số p tử của $Q_1$.

Dễ thấy là $q_1$ chẵn. Giả sử $q_1=2k_1$.Ta chọn 2 tập bất kỳ thuộc $Q_1$ và thực hiện phép chuyển.

$\quad$ a)Nếu 2 tập đó có số p tử bằng nhau thì chúng sẽ hợp thành 1 tập có số p tử là bội của $2^2$.

$\quad$ b)Nếu 2 tập đó có số p tử là $4m_1 + 2$ và $4n_1 + 2$ thì sau phép chuyển ta có 2 tập có số p tử là $4(m_1-n_1)$ và $8n_1 + 4$ đều là bội của $2^2$. Vậy sau $k_1$ phép chuyển ta nhận đc các tập con có số p tử đều là bội của $2^2$.

Gọi $M_2$ là tập các tập con đó.

Tiếp tục chia $M_2$ thành 2 tập $P_2$ và $Q_2$, ...

Cứ làm mãi như thế, đến một lúc nào đó ta nhận đc các tập con có số p tử đều là bội của $2^{n-1}$. Dễ thấy rằng khi đó ta có đúng 2 tập con như thế, mỗi tập đều có đúng $2^{n-1}$ p tử. Thực hiện phép chuyển cuối cùng ta được tập $X$.

 

(Muốn viết các công thức dưới dạng LATEX nhưng sao khung soạn thảo ko hiện ra, bức xúc quá !)