Đến nội dung

chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

Đăng ký: 27-09-2013
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

#740847 Tính số nghiệm nguyên của phương trình $$z_1+z_2+z_3+z_4+z_5=30...

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 01-08-2023 - 07:13

1/ Tính số nghiệm nguyên của phương trình
$$z_1+z_2+z_3+z_4+z_5=30$$biết rằng các $z_i>1$, có 2 nghiệm là số lẻ và 3 nghiệm là số tự nhiên chẵn.

Đặt $y_i=z_i-2$.

Đáp án cần tìm cũng chính là số bộ nghiệm nguyên không âm của pt $y_1+y_2+...+y_5=20$ thỏa mãn có đúng 2 nghiệm lẻ

Gọi 2 nghiệm lẻ đó là $y_j$ và $y_k$.

Chọn $j$ và $k$ : $C_5^2$ cách.

Ta có hàm sinh $f(x)=\left ( \frac{1}{1-x}-\frac{1}{1-x^2} \right )^2\left ( \frac{1}{1-x^2} \right )^3=\frac{x^2}{(1-x^2)^5}=x^2\sum_{t=0}^{\infty}C_{t+4}^4x^{2t}$

Vậy đáp án là $C_5^2.\left [ x^{20} \right ]f(x)=C_5^2.C_{9+4}^4=7150$.
 




#740815 Có bao nhiêu bộ nghiệm nguyên không âm của phương trình : $z_2+z_3+z_4+z...

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 30-07-2023 - 11:39

2/ Bằng cách a) không dùng hàm sinh và b) dùng hàm sinh để tính số xâu tam phân kích thước 10 biết rằng chữ số 1 xuất hiện ít nhất 1 lần và chữ số 2 xuất hiện số chẵn lần.

Ta có hàm sinh :

$f(x)=\left ( 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^9}{9!} \right )\left ( x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^9}{9!}+\frac{x^{10}}{10!} \right )\left ( 1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}...+\frac{x^8}{8!} \right )$

Số xâu thỏa mãn yêu cầu là $10!.\left [ x^{10} \right ]f(x)=29013.$
 




#740813 Có bao nhiêu bộ nghiệm nguyên không âm của phương trình : $z_2+z_3+z_4+z...

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 30-07-2023 - 08:36

1/ Có bao nhiêu bộ nghiệm nguyên không âm của phương trình :
$z_2+z_3+z_4+z_5=26$
biết rằng $i\nmid z_i$.

Ta có hàm sinh :

$f(x)=(x+x^3+x^5+...+x^{23})\left [ (x+x^2+x^3+...+x^{23})-(x^3+x^6+...+x^{21}) \right ]\times$

$\times\left [ (x+x^2+x^3+...+x^{23})-(x^4+x^8+...+x^{20}) \right ]\left [ (x+x^2+x^3+...+x^{23})-(x^5+x^{10}+...+x^{20}) \right ]$

$=\frac{x-x^{25}}{1-x^2}\left (\frac{x-x^{24}}{1-x}-\frac{x^3-x^{24}}{1-x^3} \right )\left (\frac{x-x^{24}}{1-x}-\frac{x^4-x^{24}}{1-x^4} \right )\left (\frac{x-x^{24}}{1-x}-\frac{x^5-x^{25}}{1-x^5} \right )$

Số bộ nghiệm nguyên dương cần tìm là $\left [ x^{26} \right ]f(x)=525$.




#740720 Có bao nhiêu bộ thứ tự 3 số nguyên $a,b,c\in \left \...

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 24-07-2023 - 09:16

Có bao nhiêu bộ thứ tự 3 số nguyên $a,b,c\in \left \{1,2,..., 15\right \}$ sao cho tích $a\cdot b\cdot c $ chia hết cho 15.

(Mình giải bài này với điều kiện $a,b,c$ không nhất thiết là 3 số phân biệt)

Gọi $A=\left \{ 3,6,9,12 \right \}$

       $B=\left \{ 5,10 \right \}$

       $C=\left \{ 15 \right \}$

       $D=\left \{ 1,2,4,7,8,11,13,14 \right \}$

Nếu KHÔNG tính đến thứ tự thì :

a) Số bộ có $3$ số bằng nhau là $M=1$ (đó là bộ $15,15,15$)

b) Số bộ có đúng $2$ số bằng nhau là $N$ :

   Hai số bằng nhau thuộc $A$ : $4.3=12$ bộ (có $4$ cách chọn 2 số bằng nhau, có $3$ cách chọn số còn lại thuộc $B$ hoặc $C$)

   Hai số bằng nhau thuộc $B$ : $2.5=10$ bộ (có $2$ cách chọn 2 số bằng nhau, có $5$ cách chọn số còn lại thuộc $A$ hoặc $C$)

   Hai số bằng nhau thuộc $C$ : $1.14=14$ bộ (có $1$ cách chọn 2 số bằng nhau, có $14$ cách chọn số còn lại)

   Hai số bằng nhau thuộc $D$ : $8.1=8$ bộ (có $8$ cách chọn 2 số bằng nhau, có $1$ cách chọn số còn lại)

   $\Rightarrow N=12+10+14+8=44$

c) Số bộ có $3$ số phân biệt là $P$ :

   Số bộ có số $15$ : $C_{14}^2=91$

   Số bộ không có số $15$ :

   + Có $2$ số thuộc $A$ : $C_4^2.C_2^1=12$ bộ.

   + Có $1$ số thuộc $A$, $2$ số thuộc $B$ : $C_4^1.C_2^2=4$ bộ.

   + Có $1$ số thuộc $A$, $1$ số thuộc $B$ : $C_4^1.C_2^1.C_8^1=64$ bộ.

   $\Rightarrow P=91+12+4+64=171$.

Nếu CÓ tính đến thứ tự thì số bộ thỏa mãn yêu cầu đề bài là $M+\frac{N.3!}{2!}+P.3!=1+44.3+171.6=1159$ bộ.

 

------------------------------------------------------------------

Nếu hiểu rằng $a,b,c$ phân biệt thì đáp án là $171.6=1026$ bộ.




#740714 Có bao nhiêu số nguyên N với $1\leq N\leq 10^m$ có tổng c...

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 23-07-2023 - 23:06

Có bao nhiêu số nguyên N với $1\leq N\leq 10^m,\, (m\geq 1)$ có tổng các chữ số  $\leq k$.

Gọi số số nguyên từ $1$ đến $10^m$ thỏa mãn là $M_k$. Xét các trường hợp :

 a) $k=0$ : Không có số nào (từ $1$ đến $10^m$) thỏa mãn yêu cầu ($M_0=0$)

 b) $k\geqslant 1$ :

     Hàm sinh $f(x)=\left ( \frac{1-x^{10}}{1-x} \right )^m=\left ( 1-C_m^1x^{10}+C_m^2x^{20}-C_m^3x^{30}+... \right )\sum_{i=0}^{\infty}C_{i+m-1}^{m-1}x^i$

   $M_k=\sum_{i=0}^{k}\left [ x^i \right ]f(x)=\binom{m}{0}\binom{k+m}{m}-\binom{m}{1}\binom{k+m-10}{m}+\binom{m}{2}\binom{k+m-20}{m}-...=$

            $=\sum_{j=0}^{\left \lfloor \frac{k}{10} \right \rfloor}(-1)^j\binom{m}{j}\binom{k+m-10j}{m}$.
 




#740695 Vài nét về quỹ đạo Trái Đất quanh Mặt Trời và vận tốc Trái Đất trên quỹ đạo

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 23-07-2023 - 09:31

 Nếu chọn hệ Mặt Trời làm hệ quy chiếu (tức là xem như Mặt Trời đứng yên) thì Trái Đất và các hành tinh chuyển động quanh Mặt Trời theo các quỹ đạo ellipse. Quỹ đạo của Trái Đất quanh Mặt Trời gọi là đường hoàng đạo. Đó là một ellipse có tâm sai xấp xỉ $0,0167$ và bán trục lớn khoảng $149,6$ triệu km mà Mặt Trời nằm ở một trong hai tiêu điểm.

 Trên quỹ đạo ellipse, điểm gần Mặt Trời nhất gọi là điểm cận nhật (ký hiệu $P$), điểm xa Mặt Trời nhất là điểm viễn nhật (ký hiệu $A$). Hàng năm, Trái Đất đến điểm cận nhật khoảng ngày 2/1 đến 5/1 và đến điểm viễn nhật khoảng 3/7 đến 6/7. Ngày $4/1/2023$ Trái Đất sẽ đến điểm cận nhật lần tiếp theo, khi đó vận tốc của nó khoảng $30,287$ km/s.

 Trục Trái Đất nghiêng một góc khoảng $66^o34'$ so với mặt phẳng hoàng đạo (mặt phẳng chứa quỹ đạo Trái Đất). Trục đó không đổi phương suốt quá trình chuyển động. Nếu gọi tâm Trái Đất là $E$, cực Bắc Trái Đất là $N$, tâm Mặt Trời là $S$ thì góc $\widehat{NES}$ biến thiên liên tục. Góc đó bằng $90^o$ khi Trái Đất đến điểm Xuân phân ($X$) hoặc Thu phân ($T$), lần lượt đạt GTNN và GTLN khi Trái Đất đến điểm Hạ chí và điểm Đông chí.

 Biết rằng $\widehat{PSX}=77^o$ và vận tốc Trái Đất trên quỹ đạo tỷ lệ nghịch với khoảng cách $SE$, bạn nào thử tính xem vận tốc Trái Đất tại điểm Xuân phân $X$ là bao nhiêu ?

Gọi bán trục lớn và tâm sai của quỹ đạo Trái Đất lần lượt là $a$ và $e$.

Tại điểm cận nhật :

$SE=SP=a(1-e)=149,6.10^6(1-0,0167)\approx 147,1.10^6$ (km)

Tại điểm Xuân phân :

$SE=SX=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos 77^o}=\frac{149,6.10^6(1-0,0167^2)}{1+0,0167\cos 77^o}\approx 149.10^6$ (km)

$\Rightarrow$ Vận tốc Trái Đất tại điểm Xuân phân là $\frac{30,287.147,1.10^6}{149.10^6}\approx 29,9$ (km/s).

 




#740683 Một câu đố lạ về Địa lý Việt Nam

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 22-07-2023 - 19:44

Nước Bạch Nga (nguồn: https://vi.wikipedia.../wiki/Bạch_Nga)

nước Đằng-chư hầu nhà Chu (nguồn:https://vi.wikipedia...iki/Đằng_(nước) :lol:

Chỉ tính những nước hiện đang tồn tại thôi, trong quá khứ thì không tính.

Nước Bạch Nga thì vẫn đang tồn tại, nhưng không thể gọi nó là nước... Bạch được, khó hiểu lắm !




#740666 Có bao nhiêu tập con gồm 3 phần tử của A mà tổng bằng 90?

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 22-07-2023 - 10:19

Cho tập hợp A ={1,2,3,...,100}.  Hỏi có bao nhiêu tập con gồm 3 phần tử của A mà tổng bằng 90?

P/s: Mình tính ra đáp án được 631 nhưng cách giải chưa hay lắm! Muốn tham khảo thêm các cách giải khác.

Số bộ nghiệm nguyên dương của phương trình $x+y+z=90$ là $C_{89}^2=3916$

Trong đó :

Số bộ nghiệm có $x=y=z$ là $1$.

Số bộ nghiệm có $x=y\neq z$ hoặc $y=z\neq x$ hoặc $x=z\neq y$ là $3\left ( \left \lfloor \frac{90-1}{2}-1 \right \rfloor \right )=129$

Vậy số tập con thỏa mãn yêu cầu đề bài là $\frac{3916-1-129}{3!}=631$.
 




#740591 Có bao nhiêu cách đổi 1 tờ tiền mệnh giá  n đồng thành các tờ tiền mệnh giá ...

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 17-07-2023 - 22:43

Có bao nhiêu cách đổi 1 tờ tiền mệnh giá  n đồng thành các tờ tiền mệnh giá  1, 2, hoặc 3 đồng.

Gọi số cách cần tìm là $s(n)$.

$s(n)$ cũng chính là số bộ nghiệm nguyên không âm của phương trình $x+2y+3z=n$.

Trong không gian $Oxyz$ lấy các điểm $A\left ( 0,\frac{n}{2},0 \right ),B\left ( 0,0,\frac{n}{3} \right ),C(n,0,0)$.

Hình chiếu của $\Delta ABC$ trên $Oyz$ là $\Delta ABO$. Và $s(n)$ chính là số điểm nguyên của $\Delta ABO$ này

$(AB):y=\frac{n-3z}{2}\Rightarrow s(n)=\sum_{z=0}^{\left \lfloor \frac{n}{3} \right \rfloor}\left \lfloor \frac{n-3z}{2}+1 \right \rfloor$

Đặt $n=6m+p\ (0\leqslant p\leqslant 5)$.

$\textbf{TH1}$ : $(0\leqslant p\leqslant 2)$

$s(n)=\sum_{z=0}^{2m}\left \lfloor 3m+1-2z+\frac{z+p}{2} \right \rfloor=(3m+1)(2m+1)-2m(2m+1)+\sum_{z=0}^{2m}\left \lfloor \frac{z+p}{2} \right \rfloor=$

   $=2m^2+3m+1+m^2+pm+\left \lfloor \frac{p}{2} \right \rfloor=3m^2+(p+3)m+\left \lfloor \frac{p}{2} \right \rfloor+1$

$\textbf{TH2}$ : $(3\leqslant p\leqslant 5)$

$s(n)=\sum_{z=0}^{2m+1}\left \lfloor 3m+1-2z+\frac{z+p}{2} \right \rfloor=(3m+1)(2m+2)-2(m+1)(2m+1)+\sum_{z=0}^{2m+1}\left \lfloor \frac{z+p}{2} \right \rfloor=$

   $=2m^2+2m+m^2+(p+1)m+p=3m^2+(p+3)m+p$

Thống nhất kết quả trong cả $2$ trường hợp, ta có :

$s(n)=3\left \lfloor \frac{n}{6} \right \rfloor^2+(p+3)\left \lfloor \frac{n}{6} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{p}{2} \right \rfloor+\sum_{k=1}^{2}\left \lfloor \frac{p}{2k+1} \right \rfloor+1$

(trong đó $p=n-6\left \lfloor \frac{n}{6} \right \rfloor$)




#740411 Tính cách phân chia tiền hợp lí?

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 06-07-2023 - 11:50

Bài này giải phức tạp quá, mình post lên đây mọi người cùng tham khảo và giúp mình với.
Hai người chơi cờ thỏa thuận với nhau là ai thắng trước một số ván nhất định thì sẽ thắng cuộc. Trận đấu bị gián đoạn khi người thứ I còn thiếu m ván thắng, người II thiếu n ván thắng. Vậy phải phân chia tiền đặt như thế nào là hợp lý? Biết rằng xác suất thắng mỗi ván của mỗi người đều là 0,5

Nếu chơi tiếp cho đến chung cuộc thì, xác suất người thứ nhất thắng là

$p_1=\frac{1}{2^m}+\frac{C_m^{m-1}}{2^{m+1}}+\frac{C_{m+1}^{m-1}}{2^{m+2}}+\frac{C_{m+2}^{m-1}}{2^{m+3}}+...+\frac{C_{m+n-2}^{m-1}}{2^{m+n-1}}=\frac{M}{2^{m+n-1}}$

trong đó $M=2^{n-1}+2^{n-2}C_m^{m-1}+2^{n-3}C_{m+1}^{m-1}+...+2^0C_{m+n-2}^{m-1}=\sum_{k=0}^{n-1}2^kC_{m+n-k-2}^{m-1}$

Và xác suất người thứ hai thắng là

$p_2=\frac{1}{2^n}+\frac{C_n^{n-1}}{2^{n+1}}+\frac{C_{n+1}^{n-1}}{2^{n+2}}+\frac{C_{n+2}^{n-1}}{2^{n+3}}+...+\frac{C_{n+m-2}^{n-1}}{2^{m+n-1}}=\frac{N}{2^{m+n-1}}$

trong đó $N=2^{m-1}+2^{m-2}C_n^{n-1}+2^{m-3}C_{n+1}^{n-1}+...+2^0C_{m+n-2}^{n-1}=\sum_{k=0}^{m-1}2^kC_{m+n-k-2}^{n-1}$

Vậy tiền sẽ được chia cho người thứ nhất và người thứ hai theo tỷ lệ $M:N$, với $M$ và $N$ xác định như trên.
 




#740383 tính xác suất để trong 3 viên kẹo lấy ra có ít nhất 1 viên giống với viên kẹo...

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 06-07-2023 - 07:57

Mình có người nhờ giải cho bài toán sau:

Có 10 bịch kẹo đánh số thứ tự từ 1 -> 10, mỗi bịch có số kẹo lớn hơn 20 viên kẹo.
Cậu bé lấy kẹo từ 10 bịch kẹo bỏ vào 5 ngăn riêng biệt, mỗi ngăn chỉ có 1 viên kẹo. ( lấy ngẫu nhiên từ bịch nào cũng được, có thể nhiều ngăn chứa kẹo lấy ra từ 1 bịch).
Cậu ta lại lấy 3 viên kẹo bất kì từ 3 bịch kẹo khác nhau trong số 10 bịch kẹo.
Bài toán đặt ra là tính xác suất để trong 3 viên kẹo lấy ra có ít nhất 1 viên giống với viên kẹo trong 5 ngăn kẹo đã lấy lần đầu. (nghĩa là được lấy ra cùng 1 bịch kẹo).

Nhờ các anh em cùng hộ 1 tay

Bổ sung đề bài : Có 10 bịch kẹo, mỗi bịch chứa một loại kẹo KHÁC NHAU...

------------------------------------------------

Bắt chước ý tưởng của thầy Thanh, ta có :

$S=s_1+s_2+s_3+s_4+s_5=\dfrac{3p_1}{10}+\dfrac{8p_2}{15}+\dfrac{17p_3}{24}+\dfrac{5p_4}{6}+\dfrac{11p_5}{12}$

Trong đó :

$p_1=\frac{10}{10^5}=\frac{1}{10^4}$

$p_2=\frac{C_{10}^2(2^5-C_2^1)}{10^5}=\frac{27}{2000}$

$p_3=\frac{C_{10}^3(3^5-C_3^1.2^5+C_3^2)}{10^5}=\frac{9}{50}$

$p_4=\frac{C_{10}^4(4^5-C_4^1.3^5+C_4^2.2^5-C_4^3)}{10^4}=\frac{63}{125}$

$p_5=\frac{C_{10}^5(5^5-C_5^1.4^5+C_5^2.3^5-C_5^3.2^5+C_5^4)}{10^5}=\frac{189}{625}$

$\Rightarrow S=0,83193$.
 




#740362 Tính số cách treo 5 đôi tất trên một dây phơi sao cho không có hai chiếc tất...

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 05-07-2023 - 06:18

Nếu xem hai chiếc tất của mỗi đôi là khác nhau thì số cách phải nhân với $2^5$, và bằng

$\sum_{k=0}^{5}C_5^k(-2)^k(10-k)!=1263360$.




#740358 Tính số cách treo 5 đôi tất trên một dây phơi sao cho không có hai chiếc tất...

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 04-07-2023 - 23:12

Bài cũ (thầy Namdung : Bài này thú vị đấy. Không có ai giải à? Mọi người có vẻ ngán tổ hợp nhỉ? ):

Tính số cách treo 5 đôi tất trên một dây phơi sao cho không có hai chiếc tất nào cùng đôi được phơi cạnh nhau.

Đề bài OP tại https://diendantoanh...một-bài-tổ-hợp/

(Cách khác)

Gọi $M_k$ là số cách sắp xếp sao cho có ít nhất $k$ loại tất chiếm $2$ vị trí liên tiếp. Ta tính $M_k$ theo cách sau :

    - Chọn $k$ loại tất trong số $5$ loại tất : $C_5^k$ cách.

    - Với mỗi loại tất (trong $k$ loại đã chọn), ta ghép cả $2$ chiếc giống nhau, xem như $1$ chiếc duy nhất. Như vậy, từ $10$ chiếc ban đầu, nay chỉ còn $10-k$ chiếc

    - Sắp xếp ngẫu nhiên $10-k$ chiếc đó : Có $\frac{(10-k)!}{(2!)^{5-k}}=\frac{2^k(10-k)!}{32}$ cách

    $\Rightarrow M_k=C_5^k\ \frac{2^k(10-k)!}{32}$

    Và số cách sắp xếp thỏa mãn điều kiện đề bài là

    $M_0-M_1+M_2-M_3+M_4=\frac{10!}{2^5}+\sum_{k=1}^{5}C_5^k\frac{(-1)^k2^k(10-k)!}{32}$

   $=\frac{1}{32}\sum_{k=0}^{5}C_5^k(-2)^k(10-k)!=39480$.

 




#740357 Tính số cách treo 5 đôi tất trên một dây phơi sao cho không có hai chiếc tất...

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 04-07-2023 - 22:35

Bài cũ (thầy Namdung : Bài này thú vị đấy. Không có ai giải à? Mọi người có vẻ ngán tổ hợp nhỉ? ):

Tính số cách treo 5 đôi tất trên một dây phơi sao cho không có hai chiếc tất nào cùng đôi được phơi cạnh nhau.

Đề bài OP tại https://diendantoanh...một-bài-tổ-hợp/

Xem như hai chiếc tất trong cùng một đôi là giống nhau.

Bài toán tương đương với : "Có bao nhiêu cách xếp tất cả các chữ số $1,1,2,2,3,3,4,4,5,5$ thành một hàng sao cho không có hai chữ số giống nhau nào đứng cạnh nhau ?"

---------------------------------------------------

Đa thức Laguerre cho mỗi loại chữ số là

$P_{2,2}(t)=\left [ x^2 \right ]\exp\left ( \frac{t(x-x^2)}{1-x^2} \right )=\frac{t^2}{2}-t$

$\Rightarrow$ Số cách xếp (cũng là số cách treo $5$ đôi tất thỏa mãn yêu cầu đề bài) là

$\int_{0}^{\infty}e^{-t}\left ( \frac{t^2}{2}-t \right )^5dt=39480$ cách.




#740253 Có bao nhiêu tam giác có độ dài 3 cạnh thuộc tập $\textup{M}=...

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 29-06-2023 - 16:36

Mình nghĩ lời giải đầu tiên là đúng rồi. Và đáp án là $687377215$ tam giác.

----------------------------------------------

Gọi 3 cạnh tam giác là $a,b,c$ ($a\geqslant b\geqslant c$)

Thử tính riêng số tam giác có $a=2019$ (ký hiệu là $S_{2019}$

Dễ thấy $b$ chỉ có thể từ $1010$ đến $2019$ :

- Nếu $b=1010$ thì $c$ chỉ có thể là $1010$ ($1$ giá trị)

- Nếu $b=1011$ thì $c$ chỉ có thể từ $1009$ đến $1011$ ($3$ giá trị)

- Nếu $b=1012$ thì $c$ chỉ có thể từ $1008$ đến $1012$ ($5$ giá trị)

- .............................................................

- Nếu $b=2019$ thì $c$ chỉ có thể từ $1$ đến $2019$ ($2019$ giá trị)

$\Rightarrow S_{2019}=1+3+5+...+2019=1010^2=1020100$ tam giác.