EvaristeGaloa

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi d là đường trung trực của BC. Gọi T là điểm chính giữa cung BAC; M là một điểm bất kì trên d. Gọi I, K lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABM và ACM. Chứng minh bốn điểm A, I, K, T cùng thuộc một đường tròn.

Cho đa giác đều $A_{1}A_{2}...A_{n}$ tâm O. P là 1 điểm bên trong đa giác. $P_{1}$, $P_{2}$ , ..., $P_{n}$ lần lượt là hình chiếu của P lên các cạnh $A_{1}A_{2}$ , $A_{2}A_{3}$ , ... , $A_{n}A_{1}$ . Chứng minh rằng: $\sum_{i=1}^{n}\overrightarrow{PP_{i}}=\frac{n}{2}\overrightarrow{PO}$

Tìm các số nguyên dương $x$ và $y$ sao cho $x^{2}+1\vdots y$ và $y^{3}+1 \vdots x^{2}$.

Cho (O) và (O') có bán kính khác nhau cắt nhau tại M và N. Gọi AB, CD là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn với A và C thuộc (O) còn B và D thuộc (O'). Gọi H và H' lần lượt là trực tâm tam giác ABM và CDM. Chứng minh rằng OO' song song với HH'.

Cho tam giác nhọn ABC có đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc với cạnh BC tại D. Phân giác góc IDC cắt CI tại M, phân giác góc IDB cắt BI tại N. Chứng minh góc BAN bằng góc IAM.