vnposs

mình thắc mắc là lấy det 2 vế xong tự dưng có cái mũ k á, mình k hiểu chỗ này

Gợi ý bài này đi anh Đức ?  

 

Đầu tiên ta thực hiện phép biến đổi sơ cấp "Thay hàng thứ i bằng tổng của hàng đó với các hàng bên dưới hàng đó, với $i=1,2,\ldots ,n-1$", sau đó thực hiện tiếp phép biến đổi sơ cấp "Thay cột i bằng cột i trừ cột liền trước nó với $i=n,n-1,\ldots ,2$". Từ đó suy ra một hệ thức truy hồi.

 

Ta có:

 

$$\begin{eqnarray}\begin{vmatrix} x & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ n-1 & x & 2 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & n-2 & x & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x & n-1\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & x \end{vmatrix} &=& \begin{vmatrix} x+1-1 & x+n-1 & x+n-1 & \cdots & x+n-1 & x+n-1\\ n-1 & x+n-2 & x+n-1 & \cdots & x+n-1 & x+n-1\\ 0 & n-2 & x+n-3 & \cdots & x+n-1 & x+n-1\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x+1 & x+n-1\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & x \end{vmatrix}\\ &=& \begin{vmatrix} x+n-1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ n-1 & x-1 & 1 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & n-2 & x-1 & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x-1 & n-2\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & x-1 \end{vmatrix}\\ &=& (x+n-1)\begin{vmatrix} x-1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ n-2 & x-1 & 2 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & n-3 & x & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x-1 & n-2\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & x-1 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$$

 

Từ đó ta có thể suy ra một hệ thức truy hồi như sau $$D_n(x)=(x+n-1)D_{n-1}(x-1)$$

 

Với hệ thức truy hồi này ta tính được kết quả là $$D_n(x)=\prod_{k=1}^{n}(x+n-2k+1)$$

 

Cám ơn anh !

Nhưng em đang k hiểu bước (1) "Thay hàng thứ i bằng tổng hàng đó với các hàng bên dưới". Như vậy thì hàng đầu tiên phải có tất cả các phần tử bằng x+n-1 . Anh xem lại giúp em nha !

@vo van duc: Anh gõ sai thôi em à. hihi. Sửa lại rồi. h

Nhận thấy đây là mt cấp $n+1$
Ta lấy hàng $n-1$ nhân với $-1$ thêm vào hàng $n$ rồi khai triển theo cột đầu tiên của định thức ta được : $D_{n+1}$=$(n-1)!(sinx-1)D_{n}$.
Thay $n+1$ bằng $n,...,1$ ta được kết quả sau :$D_{n+1}$=$2!3!...(n-1)!(sinx-1)^n$.

Thanks bạn nhé ! :*

Nhận thấy đây là mt cấp $n+1$
Ta lấy hàng $n-1$ nhân với $-1$ thêm vào hàng $n$ rồi khai triển theo cột đầu tiên của định thức ta được : $D_{n+1}$=$(n-1)!(sinx-1)D_{n}$.
Thay $n+1$ bằng $n,...,1$ ta được kết quả sau :$D_{n+1}$=$2!3!...(n-1)!(sinx-1)^n$.

Sao lại ra $D_{n+1}=(n-1)!(sinx-1)D_{n}$

Mình k hiểu (n-1)! ở đâu ? Bạn giải chi tiết giùm mình đc k?