Đến nội dung

Johan Liebert

Johan Liebert

Đăng ký: 10-10-2013
Offline Đăng nhập: 17-04-2019 - 21:18
****-

Trong chủ đề: $CMR : \frac{1}{\sqrt{1+x^2}...

30-07-2016 - 08:14

Bạn thử lại xem đề đúng không nhé


Trong chủ đề: Thảo luận về Đề thi và Lời giải của IMO 2015

10-07-2015 - 20:30

Bài 1: 

b) Số các đoạn thẳng là $\dfrac{n(n-1)}{2}$

Xét n lẻ dễ thấy các n giác đều đều thỏa mãn

Xét n chẵn.Đặt n=2k. Theo Dirichlet ta thấy phải có 1 điểm nằm trên trung trực của $k$ đoạn thẳng (gọi là điểm O)

Do tập các điểm là không tâm nên trung trực 2 đoạn thẳng $AB,AC$ không thể đi qua cùng 1 điểm

Vì vậy k đoạn thẳng có trung trực đi qua điểm O đó không thể có chung đầu mút

Suy ra phải có ít nhất $2k$ điểm

Mà chỉ còn lại $2n-1$ điểm. Vô lý

Vậy n lẻ


Trong chủ đề: Chứng minh tổng tất cả các số nhận được bằng $n.4^{n-1}$

10-07-2015 - 15:43

Cách tính như của bạn Belphegor Varia mình nghĩ là đúng

 

Do $A_1;A_2$ được chọn 1 cách riêng lẻ mà. Vì được chọn riêng lẻ nên cặp $(A,B);(B,A)$ là 2 cặp khác nhau


Trong chủ đề: $f(y+f(x))=f(x)f(y)+f(f(x))+f(y)-xy,\;\forall x,y\in...

26-05-2015 - 14:48

Bạn nên nhớ chỗ này hàm số có thể nhảy giá trị nhé, hơn nữa nếu không tìm được $k$ thì hai cái nghiệm của phương trình bậc hai ẩn $f(x)/X$ hết sức cồng kềnh. Bạn làm tiếp cho mình được không 

Đúng là có nhảy giá trị. Nhưng mà bạn chỉ cần xét vài trường hợp là tính được k theo cái $\frac{f(f(x))+x}{f(x)=k$


Trong chủ đề: $f(y+f(x))=f(x)f(y)+f(f(x))+f(y)-xy,\;\forall x,y\in...

25-05-2015 - 09:25

Thay $y:=f(y)$ ta có:

$f(f(y)+f(x))=f(x)f(f(y))+f(f(x))+f(f(y))-xf(y)(1)$

Thay $y:=f(x) \ \ \ x:=y$ ta có

$f(f(x)+f(y))=f(y)f(f(x))+f(f(x))+f(f(y))-yf(x)(2)$

Từ $(1);(2)$ ta có

$f(x)f(f(y))--xf(y)=f(y)f(f(x))-yf(x)$

$\leftrightarrow f(x)[f(f(y))+y]=f(y)[f(f(x))+x]$

$\rightarrow \frac{f(f(x))+x}{f(x)}=k$ với k là hằng số

$\rightarrow f(f(x))=kf(x)-x$ và $f(f(f(x)))=(k^2-1)f(x)-kx$(3)

Thay vào đề bài $x:=f(x) \ \ \ \ y:=f(x)$ 

Thay tiếp vào đề bài $x:=x \ \ \ \ y:=f(f(x))$

Vì 2 vế trái bằng nhau đều là $f(f(x)+f(f(x)))$ nên 2 vế phải bằng nhau

Biến đổi hết về x và f(x) theo (3)

Ta sẽ được $(k^2-1)f^2(x)-(k^2+k-1)xf(x)+kx^2=0$

Đến đây dễ rồi