lovemathforever99

 

 

Câu $2$: $(2$ điểm $)$:

Cho các số thực $a,b,c$ với $a \neq 0$ sao cho : phương trình $ax^2+bx+c=0$ có hai nghiệm thuộc đoạn $[0;1]$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:$$P=\frac{(a-b)(2a-b)}{a(a-b+c)}$$

$P=\frac{(a-b)(2a-b)}{a(a-b+c)}=\frac{\frac{(a-b)(2a-b)}{a^{2}}}{\frac{a(a-b+c)}{a^{2}}}=\frac{(1-\frac{b}{a})(2-\frac{b}{a})}{1-\frac{b}{a}+\frac{c}{a}}$

Gọi $x_{1},x_{2}$ là 2 no PT.

Theo Viet: $P=\frac{(1+x_{1}+x_{2})(2+x_{1}+x_{2})}{1+x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}}=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{1}+x_{2}+2(1+x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2})}{1+x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}}=2+\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{1}+x_{2}}{1+x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}}$

Theo đk: $(1-x_{1})(1-x_{2})\geq 0$

$\Leftrightarrow x_{1}x_{2}+1\geq x_{1}+x_{2}\geq x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$

$\Leftrightarrow x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{1}+x_{2}\leq 1+x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}$

$\Rightarrow P\leq 3$

Dấu = khi 2 nghiệm cùng =1 hoặc 1 nghiệm =0, nghiệm còn lại =1

Sao $P\leq \frac{1}{6\alpha }$

Mà tách như nào, chia sẻ tài liệu đê   

 

$PT2$ sai rồi

$k+b^2=a^2=\frac{t}{2}$ chứ!

này là bài tập (ko có giải) trong cuốn BĐT và Cực Trị 8-9 của VQBC(lớp 10 rồi mà chưa làm xong )

Bạn nào có giải đăng lên cho mình tham khảo với 

 

Bài tập $2$ : Với $0< a,b,c\leq 1$ chứng minh :

 

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca+\frac{a(a-b)^{2}}{2(a+b)}+\frac{b(b-c)^{2}}{2(b+c)}+\frac{c(c-a)^{2}}{2(c+a)}$

 

Bài tập $5$ : Với $a,b,c> 0$ , chứng minh rằng :

$\sum \sqrt[3]{2(a^{3}+b^{3})-a(a-b)^{2}}\geq \sqrt[3]{4}(a+b+c)$

 

Bài tập $6$ : Với $a,b,c> 0,\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}=3$ . Chứng minh rằng :

$P=2(\sum \frac{1}{a+b})+5(\sum \frac{1}{\sqrt{ab}})\leq 18$

Tiếp tục chuyên đề nào 

Bài 2  Ta có : $a^{2}+b^{2}\geq 2ab+\frac{a(a-b)^{2}}{(a+b)}\Leftrightarrow b(a-b)^{2}\geq 0$(đúng)

Thiết lập tương tự $b^{2}+c^{2}\geq 2bc+\frac{b(b-c)^{2}}{(b+c)}$

                         $c^{2}+a^{2}\geq 2ca+\frac{c(c-a)^{2}}{(c+a)}$

Cộng các bđt ta có đpcm.

Bài 5     Ta có : $\sqrt[3]{2(a^{3}+b^{3})-a(a-b)^{2}}\geq\frac{a+b}{\sqrt[3]{2}}$

                  $4(a^{3}+b^{3})\geq (a+b)^{3}+a(a-b)^{2}\Leftrightarrow (a-b)^{2}(\frac{2}{3}a+b)\geq 0$(đúng)

1 cách tương tự : $\sqrt[3]{2(b^{3}+c^{3})-b(b-c)^{2}}\geq\frac{b+c}{\sqrt[3]{2}}$

                       $ \sqrt[3]{2(c^{3}+a^{3})-c(c-a)^{2}}\geq\frac{c+a}{\sqrt[3]{2}}$

Cộng các bđt có đpcm

Bài 6     AM-GM:  $P\leq 2(\sum \frac{1}{2\sqrt{ab}})+5(\sum \frac{1}{\sqrt{ab}})=6.\sum \frac{1}{\sqrt{ab}}\leq 2(\sum \frac{1}{\sqrt{a}})^{2}=2.3^{2}=18$

Bài 3 không biết có sai không, mình thử 1 số cặp thấy ko thỏa mãn.

Mk nhầm. Bài này Ad bdt nesbitt: a/(b+c)+b/(c+d)+c/(d+a)+d/(a+b)>=2
Dấu = xảy ra khi a=b=c=d

chỗ dấu = này 3 làm sao bằng 2 được hả bạn ?

 

2) Giải hpt $\left\{\begin{matrix} 2^{x}-2^{y} & =(y-x)(xy+2)\\ x^{2}+y^{2} & =2 \end{matrix}\right.$

$PT 1 \Leftrightarrow 2^{x}-2^{y}+(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})=0\Leftrightarrow 2^{x}-2^{y}+x^{3}-y^{3}=0$

Nếu $x> y\Rightarrow 2^{x}+x^{3}> 2^{y}+y^{3}$$\Rightarrow$PT vô ngo.

Tương tự với $x< y$

$\Rightarrow x=y=1$