Thao Hien

giải các phương trình , bất phương trình sau :

a,$x^{3}-3x+1=\sqrt{8-3x^{2}}$

 

Viet Hoang 99

a) Bình phương 2 vế
$\Leftrightarrow 8 -3x^2 =(x^3 -3x +1)^2$
$\Leftrightarrow x^6 -6x^4 +2x^3 +12x^2 -6x -7=0$
$\Leftrightarrow (x^2 -x-1)(x^4 +x^3 -4x^2 -x +7)=0$
 

$x^4 +x^3 -4x^2 -x +7$ phương trình này vô nghiệm.

Hầu như các bài viết đều sử dụng các công thức lớp 10. (Sin bù; định lý sin,ceva-sin... mà không chứng minh lại)

 

Em tìm được bài này trong blog của anh Đình Huy ở đây.

 

P/s: Không hiểu sao hình vẽ của em không hiện lên được, mong BTC sửa lại giúp em.

Hình 1:

 

Hình 2:

Vì nick Viet Hoang 99 đang bị khóa nên em dùng nick này trả lời (Cùng IP):
Lần trước em sửa lại hình mà bây giờ hình lại lỗi rồi, em xin sửa lại hình trong bài làm:
Hình 1:

Hình 2:

Em bị khóa nick vì lý do:

Mong BTC giảm hình phạt cho em, vì em cũng chỉ trả lời trong Báo lỗi diễn đàn cho các bạn hiểu rõ hơn thôi. (Đến ngày 8-3 được không ạ?)

Em là Viet Hoang 99 ,

P/s: Trình duyệt Crom+ và Chrome em đều lưu nick lại rồi, giờ vào diễn đàn toàn thông báo Lỗi, mà khi thoát nick Viet Hoang 99 ra thì không được, vậy nên em dùng trình duyệt Mozila Firefox (có nhiều bất tiện).

Mình là Viet Hoang 99 đây.

 

 

101) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $ab+bc+ca=1$. Cmr: $\sum \sqrt{a^4+a^2}\leq 1+\sum a^2$

 

102) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $a+b+c=1$. Cmr: $\sum \sqrt{a+bc}\geq 1+\sum \sqrt{ab}$

 

 

 

104) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $abc=1$. Tìm Min $P=\sum \frac{a^2+b^2-c^2}{c}$

 

 

vì $a+b+c=1$ nên bdt trở thành: $\sum \sqrt{a+bc}\geq \sum a+\sum \sqrt{ab}$

và ta dễ dàng CM được: $\sqrt{a+bc}\geq a+\sqrt{ab}$

(chỉ cần BP 2 vế và sử dụng ĐK $a+b+c=1$ là OK!)

 

từ đây suy ĐPCM.

$"="\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

Có thể CM như sau:
$a+bc=a(a+b+c)+bc=(a+b)(a+c)\geq (\sqrt{bc}+a)^2$ (BCS)

104/ Giả sử $a\geq b\geq c$

AD Chebyshev và AM-GM ta được $\sum \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{c}\geq \frac{1}{3}\left ( a^{2}+b^{2} +c^{2}\right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\geq \frac{1}{3}.3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=3$

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

104)

Cách 2:

$\sum \frac{a^2+b^2-c^2}{c}=\sum \frac{a^2+b^2}{c}-\sum a\geq \frac{2ab}{c}-\sum a$

Có: $\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\geq 2b\Rightarrow \sum 2\frac{ab}{c}\geq 2a$

$\Rightarrow VT\geq \sum a\geq 3\sqrt[3]{abc}=3$

= khi: $a=b=c=1$

Mình là Viet Hoang 99 đây.

101) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $ab+bc+ca=1$. Cmr: $\sum \sqrt{a^4+a^2}\leq 1+\sum a^2$

102) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $a+b+c=1$. Cmr: $\sum \sqrt{a+bc}\geq 1+\sum \sqrt{ab}$

103) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $\sum \frac{a^3}{b}\geq \sum a\sqrt{ac}$

104) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $abc=1$. Tìm Min $P=\sum \frac{a^2+b^2-c^2}{c}$

105) Cho $x;y;z>0$ thỏa: $x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}=\frac{4}{3}$. Tìm Min $A=x+y+z$

 

Nốt mấy bài cũ mn nhé:

 

93) Cho $x;y;z$ thỏa: $\sum x^4-3=2y^2(1-x^2)$. Tìm Min; Max $A=x^2+y^2$

 

95) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $(a+b)(a+c)=1$

Cmr:

a) $abc(a+b+c)\leq \frac{1}{4}$

b) $a(ab+bc+ca)\leq \frac{2\sqrt{3}}{9}$

 

93)

Đặt $x^2+y^2=t$ ($t\geq 0$) thì:
+) $PT\Leftrightarrow t^2-2t-3=-3x^2\leq 0$

$\Leftrightarrow (t-1)(t-3)\leq 0\Leftrightarrow t\leq 3$

$\Rightarrow Max t=Max (x^2+y^2)=3\Leftrightarrow x=0;y=\pm \sqrt{3}$

+) $PT\Leftrightarrow t^2+t-3=3y^2+3\geq 3\Leftrightarrow t\geq \frac{\sqrt{13}-1}{2}$

$\Rightarrow Min t=Min (x^2+y^2)=\frac{\sqrt{13}-1}{2}\Leftrightarrow y=0;x=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{13}-1}{2}}$

95)

a)$1=(a+b)(a+c)=a(a+b+c)+bc\geq 2\sqrt{abc(a+b+c)}\Rightarrow abc(a+b+c)\leq \frac{1}{4}$

b)$1=(a+b)(a+c)=a^2+(ab+bc+ca)=a^2+\frac{ab+bc+ca}{2}+\frac{ab+bc+ca}{2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^2(ab+bc+ca)^2}{4}}\Rightarrow a(ab+bc+ca)\leq \frac{2\sqrt{3}}{9}$

Cho $x,y\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $(x+y)^{3}+4xy\geq 2$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$$ P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1$$

Đề của 

nk0kckungtjnh

MSS 47: Trương Việt Hoàng
Nick trên diễn đàn: Viet Hoang 99

Vì nick Viet Hoang 99 đang bị khóa nên em dùng nick này để giải bài. Mong BTC chấp nhận (2 nick cùng IP mà)

Bài làm:

$(x-y)^2\geq 0$ $\forall x;y\in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow x^2+y^2\geq 2xy$ $\forall x;y\in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow (x+y)^2\geq 4xy$ $\forall x;y\in \mathbb{R}$ (1)

Từ $GT\Rightarrow 2\leq (x+y)^3+4xy\leq (x+y)^3+(x+y)^2$ (Do (1))

Đặt $x+y=t$ ta có: $t^3+t^2\geq 2\Leftrightarrow (t-1)(t^2+2t+2)\geq 0$
$\Leftrightarrow t\geq 1$ (Do $t^2+2t+2>0$ $\forall t$)

Đặt $x^2+y^2=a$, ta có: $x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}=\frac{t^2}{2}\geq \frac{1}{2}$

$\Rightarrow a\geq \frac{1}{2}$

Có: $P=3(x^4+y^4+x^2y^2)-2(x^2+y^2)+1$
$=3[(x^2+y^2)^2-x^2y^2]-2(x^2+y^2)+1$
$=3(a^2-x^2y^2)-2a+1\geq 3(a^2-\frac{(x^2+y^2)^2)}{4})-2a+1$ (Áp dụng BĐT tương tự (1))
$=3(a^2-\frac{a^2}{4})-2a+1=\frac{9}{4}a^2-2a+1$
$=(\frac{3}{2}a-\frac{2}{3})^2+\frac{5}{9}\geq (\frac{3}{2}.\frac{1}{2}-\frac{2}{3})^2+\frac{5}{9}$ (Do $a\geq \frac{1}{2}$)

$=\frac{9}{16}$

Dấu = có khi: $x=y=\frac{1}{2}$

Điểm 10.

Cho $a;b;c$ tm: $a+b+c=1$.

Tìm Max $P=(a^{3}+b^{3})(b^{3}+c^{3})(c^{3}+a^{3})$

1/ Nghiệm nguyên tố: $x^{y}+y^{x}+300=z$

2/ Nghiệm nguyên: $\left\{\begin{matrix}y-|x^{2}-2x|+\frac{1}{2}>0 & & \\ y+|x-1|-2<0 & & \end{matrix}\right.$

3/ Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho $n+1;6n+1;20n+1$ đều là số chính phương.

1) Giải pt,hpt:
a/$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{1+(x-y)^{2}}=z+4 & & \\ \sqrt{z+3}+2x=8 & & \end{matrix}\right.$

b/$\left\{\begin{matrix}1+\sqrt{y-1}=\frac{1}{y^{2}}-(x+z)^{2} & & \\ x^{2}+y^{2}=2y & & \end{matrix}\right.$

c/$\left\{\begin{matrix}\sqrt{y}-4+x=\frac{\sqrt{x+y}+\sqrt{x+y-9}+2}{\sqrt{y}-x+4} & & \\ 9+(y-5)^{2}=x+y & & \end{matrix}\right.$

d/$\sqrt[3]{9x^{2}-15x+9}+\sqrt{x^{3}+3x^{2}-3x+1}+x=2$

e/$4x^{4}+x^{2}+3x+4=3\sqrt[3]{16x^{3}+12x}$

f/$2x^{2}+4x-\sqrt{\frac{x+3}{2}}=0$

g/$\frac{x^{2}}{(x+2)^{2}}=3x^{2}-6x-3$

h/$\sqrt[3]{x+\frac{1}{2}}=16x^{3}-1$

1)Tìm a,b,c nguyên dương tm:$\left\{\begin{matrix}\sqrt{a-b+c}=\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{c} & & & \\ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{4}{3} & & & \end{matrix}\right.$

2)Cho $a_{n}=3n+\sqrt{n^{2}-1};b_{n}=2(\sqrt{n^{2}+n}+\sqrt{n^{2}-n})$. Tìm a,b sao cho $\sum_{i=1}^{49}\sqrt{a_{i}-b_{i}}=a+b\sqrt{2}$

3)Cho x,y,z đôi một khác nhau tm: $(y-z)\sqrt[3]{1-x^{3}}+(z-x)\sqrt[3]{1-y^{3}}+(x-y)\sqrt[3]{1-z^{3}}=0$

Cmr:$\sqrt[3]{(1-x^{3})(1-y^{3})(1-z^{3})}=1-xyz$

4)Cho a>0 và f(x)=$\frac{a^{x}}{\sqrt{a}+a^{x}}$.Tính S=$f(\frac{1}{2014})+f(\frac{2}{2014})+...+f(\frac{2013}{2014})$

5)Cho P(x)=$\frac{2^{2x}+1}{2^{2x}-2}(x\neq \frac{1}{2})$. Tính S=$P(\frac{1}{2014})+P(\frac{2}{2014})+...+P(\frac{2013}{2014})$

1)Chứng minh rằng: $\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2010\sqrt{2009}}<\frac{88}{45}$

2)Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương thì $x_{n}=12\sqrt{(n-1)n(n+1)(n+2)+1}+23$ có thể viết được thành tổng các bình phương của ba số nguyên dương lẻ liên tiếp.

3)Cho 3 số dương x,y,z có tổng bằng 1. Chứng minh rằng $\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\geq 1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}$

4)Cho các số a,b,c thoả mãn a+b+c=5.Tìm Min P=$\sqrt{a+1}+\sqrt{2b+1}+\sqrt{3c+1}$

@@ Đã làm được bài 2

1) Rút gọn: A=$\frac{\sqrt{2+\sqrt{4-x^{2}}}[\sqrt{(2+x)^{3}}-\sqrt{2-x)^{3}}]}{4+\sqrt{4-x^{2}}}$ với $-2\leq x\leq 2$

2)Cho biểu thức A=$\sqrt{20a+92+\sqrt{a^{4}+16a^{2}+64}}$; B=$a^{4}+20a^{3}+102a^{2}+40a+200$

a)Rút gọn A

b)Tìm a để A+B=0

3)giải pt:$\frac{2+\sqrt{x}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{x}}}+\frac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{x}}}=\sqrt{2}$

1)Tìm min Q=$\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{abc}$. trong đó $a,b,c>0$; $a+b+c=1$

2)Với giá trị nào của góc nhọn $\alpha$ thì biểu thức P=$3sin\alpha +\sqrt{3}cos\alpha$ có giá trị lớn nhất

3)Cho 3 số thực a,b,c thoả mãn: $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}=\sqrt{2011}$

CMR: $\sum \frac{a^{2}}{b+c}\geq \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2011}{2}}$

Câu 5 mình nghĩ phải là: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}>\frac{x^2+y^2+z^2}{2(a^2+b^2+c^2)}$

Đúng đề rồi bạn