b) $\frac{1}{(x+1)^{2}} + \frac{1}{(x+2)^{2}} = \frac{5}{4}$
ĐK: $x\ne -1; x\ne -2$
Đặt $t=x+\dfrac{3}{2}$, $t\ne \pm \dfrac{1}{2}$
Pt trở thành:
- Lao Hac yêu thích
...
Gửi bởi Viet Hoang 99 trong 28-10-2017 - 13:15
b) $\frac{1}{(x+1)^{2}} + \frac{1}{(x+2)^{2}} = \frac{5}{4}$
ĐK: $x\ne -1; x\ne -2$
Đặt $t=x+\dfrac{3}{2}$, $t\ne \pm \dfrac{1}{2}$
Pt trở thành:
Gửi bởi Viet Hoang 99 trong 30-07-2017 - 20:43
Cho $A=x^2+2xy+2y^2-2x+4y+2$. A đạt giá trị nhỏ nhất khi $4x+y$ bằng bao nhiêu ???
Bài này phải là nhỏ nhất em nhé. $4x+y=13$ đúng rồi.
$$A=(x+y-1)^{2}+(y+3)^{2}-8\ge -8.$$
Dấu bằng xảy ra khi $y=-3$ và $x=4$.
Gửi bởi Viet Hoang 99 trong 15-01-2017 - 20:17
Cho tam giác $ABC$ không cân nội tiếp $(O)$ và có ba góc đều nhọn. Gọi $D$, $E$, $F$ là chân đường cao đỉnh $A$, $B$, $C$ lên các cạnh $BC$, $CA$, $AB$ tương ứng. Giả sử các đường tròn ngoại tiếp $(AOD)$, $(BOE)$, $(COF)$ cắt các cạnh $BC$, $CA$, $AB$ kéo dài tương ứng tại $I$, $J$, $K$. Chứng minh rằng $I$, $J$, $K$ thẳng hàng.
Gửi bởi Viet Hoang 99 trong 20-12-2016 - 12:33
Áp dụng liên tiếp $AM-GM$ và $C-S$ ta có:
$$\begin{align*} \dfrac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+3ab+c^2}}&\ge \dfrac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+ab+c^2+\left (a^2+b^2 \right )}}\\ &=\dfrac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+ab+1}}\\ &=\sqrt{a^2+ab+1}=\sqrt{a^2+ab+a^2+b^2+c^2}\\ &=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\sqrt{\left ( \dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}+1+1 \right )\left [\left ( a+\dfrac{b}{2} \right )^2+\dfrac{3b^2}{4}+a^2+c^2 \right ]}\\ &\ge \dfrac{1}{\sqrt{5}}\left [ \dfrac{3}{2}\left (a+\dfrac{b}{2} \right )+\dfrac{3}{4}b+a+c \right ]\\ &=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left ( \dfrac{5}{2}a+\dfrac{3}{2}b+c \right ) \end{align*}$$Chứng minh tương tự, cộng lại ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
chỉ e cách tư duy ra đoạn này được không a
BĐT Bunhia em ạ.
Gửi bởi Viet Hoang 99 trong 14-12-2016 - 21:36
Câu 1 ý, 3 cực trị và gốc tọa độ sao tạo thành 4 đỉnh của hình chữ nhật được nhỉ?
Tại sao không nhỉ?
$B$ và $C$ đối xứng nhau qua trục $Oy$
$A$ là cực trị nằm trên trục $Oy$
và $O$ là gốc tọa độ
Gửi bởi Viet Hoang 99 trong 09-12-2016 - 15:22
Câu 7. (3 điểm)Tìm $a$ để hệ phương trình sau có nghiệm:$$\left\{\begin{matrix}x^3-x^2y+(y+1)x-y^2-y=0 & & \\ \sqrt[4]{x^2+1}-\sqrt{y}=a & & \end{matrix}\right.$$
ĐK: $y\ge 0$
$$pt(1)\Leftrightarrow (x-y)(x^2+y+1)=0\Leftrightarrow x=y\ge 0$$
Thay vào $pt(2)$ ta có:
$$\sqrt[4]{x^2+1}-\sqrt{x}=a$$
Xét hàm số $f(x)=\sqrt[4]{x^2+1}-\sqrt{x}, ~x\ge 0$
$$\begin{align*} f'(x)=\dfrac{1}{4}\sqrt[4]{\dfrac{1}{(x^2+1)^3}}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}&=\dfrac{1}{4}\sqrt[4]{\dfrac{1}{x^6+3x^4+3x^2+1}}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\ &<\dfrac{1}{4}\sqrt[4]{\dfrac{1}{3x^2}}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\ &=\left ( \dfrac{1}{4\sqrt[4]{3}}-\dfrac{1}{2} \right )\dfrac{1}{\sqrt{x}}<0 \end{align*}$$
$\Rightarrow f(x)$ nghịch biến trên $[0,+ \infty)$
Gửi bởi Viet Hoang 99 trong 09-12-2016 - 15:15
Câu 8. (2 điểm)
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh:$$\dfrac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+3ab+c^2}}+\dfrac{b^2+bc+1}{\sqrt{b^2+3bc+a^2}}+\dfrac{c^2+ca+1}{\sqrt{c^2+3ca+b^2}}\ge \sqrt{5}(a+b+c).$$
---Hết---
Gửi bởi Viet Hoang 99 trong 09-12-2016 - 15:05
Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Thái Bình 2016-2017
Câu 1. (4 điểm)
1. Cho hàm số $y=\dfrac{mx^3}{3}+(m-1)x^2+(4-3m)x+9$ có đồ thị là $(C_m)$, $m$ là tham số. Tìm $m$ để trên $(C_m)$ có duy nhất một điểm với hoành độ âm sao cho tiếp tuyến của $(C_m)$ tại điểm đó vuông góc với đường thẳng $(d): x+2y=0$.
2. Cho hàm số $y=\dfrac{x^4}{8}-(2k-1)x^2+k+3$ có đồ thị là $(C_k)$, $k$ là tham số. Tìm $k$ để $(C_k)$ có ba điểm cực trị phân biệt và ba điểm này cùng với gốc tọa độ là bốn đỉnh của một hình chữ nhật.
Câu 2. (2 điểm)
Giải phương trình
$$\dfrac{4\cos x\cos ^2 \left (x+\dfrac{\pi}{2} \right)-\sin \left (x+\dfrac{\pi}{6}\right )}{2\cos 2x-1}=0.$$
Câu 3. (2 điểm)
Lớp $12A$ có $7$ học sinh giỏi gồm $5$ nam và $2$ nữ, lớp $12B$ có $10$ học sinh giỏi gồm $6$ nam và $4$ nữ. Chọn ngẫu nhiên mỗi lớp $2$ học sinh giỏi dự đại hội thi đua. Tính xác suất để trong $4$ học sinh được chọn có $2$ học sinh nam và $2$ học sinh nữ.
Câu 4. (2 điểm)
Tính đạo hàm của hàm số sau tại $x=0$
Câu 8. (2 điểm)
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh:
$$\dfrac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+3ab+c^2}}+\dfrac{b^2+bc+1}{\sqrt{b^2+3bc+a^2}}+\dfrac{c^2+ca+1}{\sqrt{c^2+3ca+b^2}}\ge \sqrt{5}(a+b+c).$$
---Hết---
Gửi bởi Viet Hoang 99 trong 01-12-2016 - 20:32
Tìm cực trị của hàm số $y=\sin^2 x+\cot^2 \dfrac{x}{2}+4\cos ^2 \dfrac{x}{2}-4\sin x-4\cot \dfrac{x}{2}$
($0<x<\pi$)
Gửi bởi Viet Hoang 99 trong 17-11-2016 - 19:30
Giải bpt:
$$\dfrac{\sqrt{x+24}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+24}-\sqrt{x}}\le \dfrac{27(12+x-\sqrt{x^2+24x})}{8(12+x+\sqrt{x^2+24x})}$$
Gửi bởi Viet Hoang 99 trong 17-11-2016 - 19:18
Cho $a_1;a_2;...;a_{2013}$ với $a_1^2+a_2^2+...+a_{2013}^2=1$.Cmr:
$$\frac{a_1}{1+a_1^2}+\frac{a_2}{1+a_1^2+a_2^2}+...+\frac{a_{2013}}{1+a_1^2+a_2^2+...+a_{2013}^2}< \frac{\sqrt{4026}}{2}$$
$$VT\le \sqrt{2013\sum \dfrac{a_1^2}{(1+a_1^2)^2}}$$
Ta có đánh giá sau
$$\left\{\begin{matrix} \dfrac{a_1^2}{(1+a_1^2)^2}\le \dfrac{a_1^2}{1+a_1^2}=1-\dfrac{1}{1+a_1^2} & & \\ \dfrac{a_2^2}{(1+a_1^2+a_2^2)^2}\le \dfrac{a_2^2}{(1+a_1^2+a_2^2)(1+a_1^2)}=\dfrac{1}{1+a_1^2}-\dfrac{1}{1+a_1^2+a_2^2} & & \\ ... \\ \dfrac{a_{2013}^2}{(1+a_1^2+...+a_{2013}^2)^2}\le \dfrac{1}{1+a_1^2+...+a_{2012}^2}-\dfrac{1}{1+a_1^2+...+a_{2013}^2} \end{matrix}\right.$$
Cộng theo vế
$$VT\le \sqrt{2013\left ( 1-\dfrac{1}{1+a_1^2+...+a_{2013}^2} \right )}=\sqrt{2013\left (1-\dfrac{1}{2} \right )}=VP$$
Dấu bằng không xảy ra.
Gửi bởi Viet Hoang 99 trong 30-10-2016 - 10:44
$\dfrac{1}{a^2+1}=1-\dfrac{a^2}{a^2+1}\ge 1-\dfrac{a^2}{2a}=1-\dfrac{a}{2}$
Tương tự
$M\ge 3-\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{3}{2}$
Gửi bởi Viet Hoang 99 trong 30-10-2016 - 10:29
Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=x^3+y^3+z^3$. Tìm Min
$$P=\dfrac{1}{\sqrt{8^x+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{8^y+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{8^z+1}}$$
$\dfrac{1}{\sqrt{8^x+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{(2^x+1)(4^x-2^x+1)}}\ge \dfrac{2}{4^x+2}\ge \dfrac{2}{2^{x^2+1}+2}=\dfrac{1}{2^{x^2}+1}$
Từ $GT\Rightarrow x^2+y^2+z^2\le 3$
Đặt $\left ( 2^{x^2},2^{y^2},2^{z^2} \right )\rightarrow \left (2a,2b,2c \right )\Rightarrow 8abc=2^{x^2+y^2+z^2}\le 8\Leftrightarrow abc\le 1$
$P\ge \sum \dfrac{1}{2a+1}=\sum \dfrac{\dfrac{1}{a}}{2+\dfrac{1}{a}}\ge \dfrac{\left ( \sum \sqrt{\dfrac{1}{a}} \right )^2}{\sum \dfrac{1}{a}+6}=\dfrac{\sum \dfrac{1}{a}+2.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}}{\sum \dfrac{1}{a}+6}\ge 1$
Dấu bằng khi $x=y=z=1$
Gửi bởi Viet Hoang 99 trong 26-10-2016 - 21:35
Tính góc tam giác $ABC$ biết
$\left\{\begin{matrix}\dfrac{2^{\cos A}}{2^{\cos B}}+\cos A=\cos B+1 & & \\ \dfrac{2^{\cos B}}{2^{\cos C}}+\cos B=\cos C+1 & & \end{matrix}\right.$
Gợi ý:
Xét hàm $f(t)=2^t+t-1$ đồng biến trên $R$
Gửi bởi Viet Hoang 99 trong 18-10-2016 - 14:48
Cho hàm số $y=\dfrac{x}{x-1}$ $(C)$ và điểm $I\left (3;\dfrac{3}{2}\right )$. Tìm $m$ để đường thẳng $d:y=-x+m$ cắt $(C)$ tại 2 điểm phân biệt $M,N$ sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác $IMN$ tiếp xúc ngoài với đường tròn $(T): (x+1)^2+\left (y-\dfrac{11}{2} \right)^2=4$
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học