Đến nội dung


TrungNhan

Đăng ký: 29-10-2013
Offline Đăng nhập: 11-04-2015 - 23:26
-----

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Trận 1 - Số học

22-01-2014 - 18:32

cách khác:

ta xét $y>0$ => $\sqrt{y+1}<2y+1$ => $y^2<y^2+\sqrt{y+1}<(y+1)^2$ => $y^2+\sqrt{y+1}$ không chính phương.

=> $x^2=y^2+\sqrt{y+1}$ (*) vô nghiệm.

Suy ra để (*) có nghiệm ta cần có $y=0$, thế vào (*) => $x=1$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=1, y=0$.

 

Không thử lại nghiệm: trừ 1đ

$d=9$

$d_{mr}=10;d_{tl}=0;d_{t}=0$

$S=48$

Bài của em đâu cần thử lại đâu Thầy, vì chỉ còn trường hợp $y=0$ thế vào ta tính duy nhất $x=1$ (em nghĩ điều này chính là thế vào rồi)

Mong Thầy xem lại. Em cảm ơn Thầy.


Trong chủ đề: Trận 1 - Số học

14-01-2014 - 15:09

cách khác:

ta xét $y>0$ => $\sqrt{y+1}<2y+1$ => $y^2<y^2+\sqrt{y+1}<(y+1)^2$ => $y^2+\sqrt{y+1}$ không chính phương.

=> $x^2=y^2+\sqrt{y+1}$ (*) vô nghiệm.

Suy ra để (*) có nghiệm ta cần có $y=0$, thế vào (*) => $x=1$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=1, y=0$.

Vì bài làm chưa hết hạn - em xin chọn cách giải này, bỏ cách giải đầu được không Thầy.


Trong chủ đề: Trận 1 - Số học

12-01-2014 - 15:22

Bài toán đã cho có nhiều hướng mở rộng:

Có thể sử dụng phần $\sqrt{y+1}$ để mở rộng cho nhiều bài toán khó hơn.

Theo như cách giải của em ở trên, ta có thêm một bài toán sau đây:

Tìm các giá trị $x,y$ nguyên không âm thỏa:

$x^2=y^2+\sqrt{y^2+82y+1}$.

Cách giải:

Ta nhận xét nếu $y=0$ => $x=1$. Suy ra $x=1, y=0$ là một nghiệm.

Xét $y>0$ => $y^2+82y+1<36y^2+108y+81=(6y+9)^2$ => $y^2+\sqrt{y^2+82y+1}<y^2+6y+9=(y+3)^2$

=> $x=y+1$ hoặc $x=y+2$

Giải từng trường hợp, chỉ có trường hợp $x=y+2$ có nghiệm nguyên với $x=5, y=3$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $(1;0)$, $(5,3)$.


Trong chủ đề: Trận 1 - Số học

12-01-2014 - 14:39

cách khác:

ta xét $y>0$ => $\sqrt{y+1}<2y+1$ => $y^2<y^2+\sqrt{y+1}<(y+1)^2$ => $y^2+\sqrt{y+1}$ không chính phương.

=> $x^2=y^2+\sqrt{y+1}$ (*) vô nghiệm.

Suy ra để (*) có nghiệm ta cần có $y=0$, thế vào (*) => $x=1$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=1, y=0$.

 

Không thử lại nghiệm: trừ 1đ

$d=9$

$d_{mr}=10;d_{tl}=0;d_{t}=0$

$S=48$


Trong chủ đề: Trận 1 - Số học

12-01-2014 - 00:29

Từ đề bài ta suy ra: $x>y$ ta đặt $x=y+k$, $k \in \mathbb{N}^*$

Thế vào phương trình ta được:

$(y+k)^2=y^2+\sqrt{y+1}$ (1) => $2ky+k^2=\sqrt{y+1}$ => $4k^2y^2+(4k^3-1)y+k^4-1=0$

Phương trình bậc 2 đổi với y có nghiệm nguyên, theo hệ quả định lý Bézout => $k^4-1 \vdots 4k^2$ => $k=1$

Thế vào (1) ta giải được $y=0$ => $x=1$

Thử lại $x=1$ và $y=0$ thỏa bài toán.

Vậy $x=1$ và $y=0$ là các giá trị cần tìm.

 

Tại sao có mệnh đề này?

Phương trình bậc 2 đổi với y có nghiệm nguyên, theo hệ quả định lý Bézout => $k^4-1 \vdots 4k^2$ => $k=1$

Lời giải này không tính là lời giải đúng đầu tiên của TrungNhan.