Mjn Leo

 

$\left\{\begin{matrix} (x+y)(xy+y+5)=-8(1) & & \\ x^{2}+y^{2}+ x(y+1)=3(2) & & \end{matrix}\right.$

 

$\left\{\begin{matrix} 3(x^{2}+y^{2})+\frac{1}{(x+y)^{2}}=2(10-xy) & & \\ 2x + \frac{1}{x-y}=5 & & \end{matrix}\right.$

(2) <=> (x+y)²-xy+x=3 => (x+y)²+x-3=xy (3)

Thay (3) vào (1), ta có: (x+y)[(x+y)²+(x+y)-3+5]= -8 => (x+y)[(x+y)²+(x+y)+2]= -8

Đặt x+y=a => a³+a²+2a+8=0 => (a+2)(a²-a+4)=0 => a=-2 (do a²-a+4>0)

 => x+y=-2 => x=-2-y (*)

Thay (*) vào PT (2) và giải tiếp.

$\sqrt[3]{x} + \sqrt {x + 3} = 3$

ĐKXĐ: $x\geq -3$

Đặt $a=\sqrt[3]{x};b=\sqrt{x+3}$, ta có hệ sau:

$\left\{\begin{matrix} a+b=3\\ a^{3}-b^{2}=-3 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=3-a\\ a^{3}-b^{2}=-3 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow a^{3}-(3-a)^{2}=-3$

$\Leftrightarrow a^{3}-a^{2}+6a-6=0$

$\Leftrightarrow (a^{2}+6)(a-1)=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} a=1\Rightarrow b=2\\ a=\sqrt{6}\Rightarrow b=3-\sqrt{6}\\ a=-\sqrt{6}\Rightarrow b=3+\sqrt{6} \end{bmatrix}$


TH1: $(a;b)=(1;2)$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt[3]{x}=1\\ \sqrt {x + 3}=2 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\ x=2 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow x=1$ (Nhận)


TH2: $(a;b)=(\sqrt{6};3-\sqrt{6})$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt[3]{x}=\sqrt{6}\\ \sqrt{x+3}=3-\sqrt{6} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=(\sqrt{6})^{3}\\ x=12-6\sqrt{6} \end{matrix}\right.$ (loại)


TH3: $(a;b)=(-\sqrt{6};3+\sqrt{6})$


$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt[3]{x}=-\sqrt{6}\\ \sqrt{x+3}=3+\sqrt{6} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=-(\sqrt{6})^{3}\\ x=12+6\sqrt{6} \end{matrix}\right.$ (loại)


KẾT LUẬN: Phương trình có $1$ nghiệm:

$$\boxed{x=1}$$

a²+6>0 thì ta có thể loại trường hợp a²+6=0 và => a-1=0 chứ không cần xét 2TH sau!