Dam Uoc Mo

Bài 1: CMR không tồn tại $f(x)$ hệ số nguyên có bậc nguyên dương thỏa mãn $f(k)$ nguyên tố với mọi $k$ nguyên dương.

Bài 2: CMR với mọi $n$ nguyên dương,$n\geq 2$ thì luôn tồn tại $a,b$ nguyên dương sao cho $(a+i,b+j)>1$ với mọi $i;j\in \left \{ \left. 1;2;...;n-1 \right \} \right.$

Bài 3: Cho $f_{1}(x);f_{2}(x);...;f_{n}(x)$ là $n$ đa thức với hệ số nguyên khác $0$. CMR tồn tại $P(x)$ hệ số nguyên sao cho với mọi  $i=\overline{1;n}$ ta luôn có $P(x)+f_{i}(x)$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}$.

Tìm GTNN của $n\in N^{*}$ thỏa mãn tồn tại $P(x)=a_{2n}x^{2n}+a_{2n-1}x^{2n-1}+...+a_{1}x+a_{0 } \in R[x]$ có nghiệm thực và $a_{i}\in [2014;2015]$ với mọi $i=0;1;..;2n$.

P/S: Nhân đây nếu ai có tài liệu bài tập kèm lời giải về đa thức cho em (mình) xin với. Mình cảm ơn.

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(\omega )$. $I$ là tâm nội tiếp $\Delta ABC$. $AI,BI,CI$ cắt $(\omega )$ ở $A',B',C'$. M thuộc cạnh $AB$. Đường qua M song song $AI$ cắt đường qua B vuông góc $BI$ ở $A_{1}$. Đường qua M song song $BI$ cắt đường qua A vuông góc $AI$ ở $B_{1}$.

CMR: $A'A_{1};B'B_{1};C'M$ đồng quy.

Cái này chứng minh sao nhỉ $\frac{n-n/p^{s}}{p-1}\leq [ \frac{n}{p-1} ]$ ?

Chỗ đó có gì đâu.

$V_{p}(n!)< \frac{n}{p-1}\Rightarrow V_{p}(n!)\leq [\frac{n}{p-1}]$. 

Cho số nguyên dương $a, n$ sao cho tất cả các ước nguyên tố của $a$ đều lớn hơn $n.$ Chứng minh rằng $(a-1)(a^{2}-1)...(a^{n-1}-1)$ chia hết cho $n!.$

Gọi $p$ là 1 ước nguyên tố của $n$.

Có $a^{p-1}\equiv 1(modp)$ nên $V_{p}(VT)\geq V_{p}(\prod_{i=1}^{[\frac{n}{p-1}]}(a^{(p-1)i}-1))\geq [\frac{n}{p-1}] \\ V_{p}(n!)=[n/p]+[n/p^{2}]+...[n/p^{s}]\leq n/p+n/p^{2}+...+n/p^{s}=\frac{n-n/p^{s}}{p-1}\leq [\frac{n}{p-1}] \\ --> Q.E.D.\blacksquare$

P.S: Lâu lắm mới làm bài. Mỏi quá.

Giả sử $f:N^{*}\rightarrow N^{*}$ thỏa mãn $f(mf(n))=f(m).n^{2}$.

a, CMR $f(2003)$ là 1 số nguyên tố hoặc bình phương 1 số nguyên tố. ( Mình chỉ cần $f$ nhân tính nữa thôi, nên ai giải giúp mình nốt).

b, Xây dựng hàm $f$ thỏa mãn đề.

Lưu ý rằng dãy mà hội tụ về $0$ thì nó bị chặn bởi hằng số $C$ nào đó từ đó

$$w_{n} < C \frac{\sum_{i=1}^{n}y_{i}}{n}$$

Theo định lý Cesaro thì dãy trung bình cộng cũng hội tụ về $0$ nên ta có đpcm . Bài này là bổ đề để chứng minh cho trường hợp thay $0$ bằng số $a$ thì ba dãy $(x_{n}),(y_{n}),(w_{n})$ cùng hội tụ về $a$ .

OK cảm ơn Bằng, thì tớ chứng minh bài tổng quát đến đoạn này thì hơi nghẽn. hôm trước có mò ra thêm 1 cách dùng bất đẳng thức đánh giá nữa.

Cho $\left ( x_{n} \right ),\left ( y_{n} \right ):\\ limx_{n}=limy_{n}=0.\\ w_{n}=\frac{x_{1}y_{n}+x_{2}y_{n-1}+...+x_{n-1}y_{2}+x_{n}y_{1}}{n}\\ CMR:\\ limw_{n}=0$

Cho a,b,c dương. CMR:
$\sum \frac{1}{(a+b)^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3abc(a+b+c)}(a+b+c)^{2}}{4(ab+bc+ac)^{3}}$

Cho a,b,c thực dương thỏa mãn là 3 cạnh tam giác. CMR:

$\sum \frac{a}{\sqrt{a^{2}+3bc}}\geq \frac{3}{2}$

Cho $a,b\in N^{*}$ và $2a-1,2b-1,a+b$ đều nguyên tố.

CMR: $a^{b}+b^{a};a^{a}+b^{b}$ không chia hết cho $a+b$.

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác thỏa mãn: $a\geq b\geq c. \\ CMR: \sqrt{a(a+b-\sqrt{ab})}+\sqrt{b(a+c-\sqrt{ac})}+\sqrt{c(b+c-\sqrt{bc})}\geq a+b+c$

Cho a,b,c>0.CMR:

$\frac{a}{a^{2}+ab+bc}+\frac{b}{b^{2}+bc+ca}+\frac{c}{c^{2}+ca+ab}\geq \frac{9(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^{3}}$

Cho $a,b,c\geq 0. \\ CMR: \frac{a^{3}}{(a+b)^{3}}+\frac{b^{3}}{(b+c)^{3}}+\frac{c^{3}}{(c+a)^{3}}+\frac{5abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 1.$

Mọi người thử dùng cách càng đơn giản càng tốt nha.

Tìm $x,y\in Z:$

$x^3-x^2y+3x-2y-4=0$

Tìm $x,y\in Z:$

$\frac{x+y\sqrt{2014}}{y+z\sqrt{2014}}$ là số hữu tỉ đồng thời $x^2+y^2+z^2$ là số nguyên tố

Tìm các số tự nhiên x,y $3x^2+6y^2+z^2+3y^2z^2-18x=6$

Tìm x,y$\in Z: y^3-x^3=2x+1$

Tìm cac số nguyên dương thoả mãn:$4x^2+y^2< 2xy+2x+y+1$

Câu 1:

$PT\Leftrightarrow y=\frac{x^{3}+3x-4}{x^{2}+2}=x+\frac{x-4}{x^{2}+2}\rightarrow \frac{x-4}{x^{2}+2}\in Z\Rightarrow (x-4)\vdots (x^{2}+2) \\ x^{2}+2=(x-4)(x+4)+18\rightarrow 18\vdots (x^{2}+2)\rightarrow .....$ Giải ra xong phải thử lại xem thỏa mãn ko bạn nhé
Câu 2: 

$\frac{x+y\sqrt{2014}}{y+z\sqrt{2014}}=\frac{p}{q}\rightarrow xq+yq\sqrt{2014}=py+pz\sqrt{2014}\rightarrow \left\{\begin{matrix}xq=py \\ yq=pz \end{matrix}\right. \\ \rightarrow yq.py=xq.pz\rightarrow y^{2}=xz\rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}=(x+z)^{2}-y^{2}=(x+y+z)(x+z-y)\rightarrow \begin{bmatrix}x+y+z=1 \\ x+z-y=1 \end{bmatrix} \\ \rightarrow \begin{bmatrix} x^{2}+y^{2}+z^{2}=1-2y\geq 0\rightarrow y=0 \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1+2y.... \end{bmatrix}$

Cái bài 2 này mình từng làm rồi,nhg hình như có điều kiện x,y,z không âm hay sao ấy bạn ?