Cho dãy số $(x_{n})$ xác định bởi $x_{1}=2,1$ và $x_{n+1}=\frac{x_{n}-2+\sqrt{x_{n}^{2}+8x_{n}-4}}{2}.$
Đặt $y_{n}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_{i+1}^{2}-4}.$ Tìm $\lim_{n \mapsto +\infty}y_{n}.$
+ CM: $\lim_{n \rightarrow +\infty}x_n=+ \infty$
+ $x_{n+1}=\frac{x_{n}-2+\sqrt{x_{n}^{2}+8x_{n}-4}}{2}$
Chuyển vế, bình phương được $x_{n+1}^2-x_nx_{n+1}+2x_{n+1}-3x_n+2=0 $
$\Rightarrow \frac{1}{x_n^2-4}=\frac{1}{x_n-2}-\frac{1}{x_{n+1}-2}$
$\Rightarrow y_n=\frac{1}{x_1-2}-\frac{1}{x_{n+1}-2}$
Do $\lim_{n \rightarrow +\infty}x_n=+ \infty$ nên $\lim y_n=\frac{1}{0,1}=10$
- halloffame và Fr13nd thích