phuocdinh1999

Giải hệ phương trình:  $\left\{\begin{matrix} (x-y+2)(x+1)=\sqrt{y} & \\ \left ( 4-\sqrt{x+1} \right )\sqrt{x+1}=3y-2+2\sqrt{1-x} & \end{matrix}\right.$

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh: $\sqrt{\frac{a}{8b+c}}+\sqrt{\frac{b}{8c+a}}+\sqrt{\frac{c}{8a+b}}\geq 1$

Cho hình vuông đơn vị $2n*2n$. Người ta tô màu $3n$ ô bất kỳ của hình vuông. Chứng minh luôn chọn được $n$ hàng và $n$ cột sao cho các hàng và cột đó chứa tất cả $3n$ ô đã tô.

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh: $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$

Khoá thi ngày 06 tháng 6 năm 2014

Môn: Toán(chuyên)

Thời gian: 150 phút

Câu 1:(2 điểm)

a/ Cho $a=\frac{1-\left ( \sqrt{6}-\sqrt{2} \right )\sqrt{2+\sqrt{3}}}{\sqrt{6-4\sqrt{2}}+\sqrt{3+2\sqrt{2}}}$. Tính $M=(a^2+a-1)^{2014}$

b/ Cho $x,y$ nguyên dương và $x^2+2y$ là số chính phương. Chứng minh $x^2+y$ bằng tổng của hai số chính phương

Câu 2:(2 điểm)

a/Giải phương trình $\frac{2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}}-\sqrt{3+2x-x^2}=1$

b/Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} y^2-2y-2xy+4x=0 & \\ x^3+3x^2=y^2-y+2 & \end{matrix}\right.$

Câu 3:(1 điểm)

Cho các hàm số $y=\frac{-3}{2}x+2m$ và $y=\frac{-3}{4}x^2$ có đồ thị $(d)$ và $(P)$. Tìm $m$ đề $(d)$ cắt $(P)$ tại $2$ điểm phân biệt nằm bên phải trục tung?

Câu 4: (2 điểm)

Cho tam giác nhọn $ABC$ và điểm $G$ bất kỳ trong tam giác, qua $G$ vẽ các tia vuông góc với $BC,CA,AB$ lần lượt cắt các cạnh đó tại $D,E,F$. Trên các tia $GD,GE,GF$ lấy $A',B',C'$ sao cho $\frac{GA'}{BC}=\frac{GB'}{CA}=\frac{GC'}{AB}$. Gọi $H$ là điểm đối xứng của $A$ qua $G$.

a/ Chứng minh $HB'//GC'$

b/ Chứng minh $G$ là trọng tâm tam giác $A'B'C'$

Câu 5: (2 điểm)

Cho tam giác nhọn $ABC$. Đường tròn $(O)$ đường kính $BC$ cắt $AB,AC$ tại $E,D$; $BD$ cắt $CE$ tại $H$; $AH$ cắt $BC$ tại $I$. Vẽ các tiếp tuyến $AM,AN$ của $(O)$. Chứng minh:

a/ $H$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta DEI$

b/ $MN,BD,CE$ đồng quy

Câu 6: (1 điểm)

Trong hệ trục toạ độ $Oxy$ có đường thẳng $(d):y=2014-x$ cắt $Ox$ tại $A$, cắt $Oy$ tại $B$. Điểm $M(x;y)$ di chuyển trên đoạn $AB$ ($M$ không trùng $A$ và $B$). Tìm $MinP=\frac{x}{\sqrt{2014-x}}+\frac{y}{\sqrt{2014-y}}$