binhnhaukhong

File ảnh mình đính kèm bên dưới

Bài 1: Cho $x,y,z$ không âm sao cho $xy+yz+xz>0$.Chứng minh rằng:

$(xy+yz+xz)\left [ \frac{1}{(x+y)^2}+\frac{1}{(y+z)^2}+\frac{1}{(x+z)^2} \right ]\geq \frac{9}{4}+\frac{xyz(x^3+y^3+z^3-3xyz)}{(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2}$

Bài 2: Cho $a,b,c>0$ thỏa $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:

$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+4(ab+bc+ac)\geq 15$

Bài 3: Cho $a,b,c$ không âm thỏa $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:

$a^3b+b^3c+c^3a+\frac{1419abc}{256}\leq \frac{2187}{256}$

Bài 4: Cho $a,b,c$ thực dương.Chứng minh rằng:

$\frac{a^3+b^3+c^3}{8abc}+\frac{a(b+c)}{b^2+c^2}+\frac{b(a+c)}{a^2+c^2}+\frac{c(a+b)}{a^2+b^2}\geq \frac{27}{8}$

Bài 5: Cho $a,b,c>0, a^2+b^2+c^2=3$.Chứng minh rằng:

$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+2abc\geq 5$

Bài 6: Cho $a,b,c$ thực dương.Chứng minh rằng:

$\sum \frac{a^2}{b^2+bc+c^2}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)(a^3+b^3+c^3+3abc)}{(ab+bc+ac)\left [ \sum ab(a+b) \right ]}$

Bài 7: Cho $a,b,c>0$ thỏa $a+b+c=1$.Chứng minh rằng:

$\sqrt{a^2+abc}+\sqrt{b^2+abc}+\sqrt{c^2+abc}\leq \frac{2}{\sqrt{3}}$

Bài 8: $a,b,c\geq 0, a^2+b^2+c^2=4$:

$a^3b+b^3c+c^3a\leq \frac{256}{75}+\frac{16}{15}(ab+bc+ac)$

Bài 9: $a,b,c\geq 0,a^2+b^2+c^2=1$

$\frac{1-ab}{7-3ac}+\frac{1-bc}{7-3ab}+\frac{1-ca}{7-3bc}\geq \frac{1}{3}$

Bài 10: $a,b,c$ là các số thực khác 0 .$a^2+b^2+c^2=1$.Chứng minh:

$\frac{1-3ab}{1-2ac}+\frac{1-3bc}{1-2ab}+\frac{1-3ca}{1-2bc}\geq 0$

Spoiler

Chính thức tuyên bố rửa tay gác kiếm, quy ẩn giang hồ

Cho $a,b,c$ không âm.Chứng minh BĐT sau:

$\frac{2(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}+\frac{abc}{a^2b+b^2c+c^2a}\geq 1$

Spoiler

Bài này hay

Cho $a,b,c$ thực dương thỏa $a\leq b\leq c$ và $abc=1$.Chứng minh rằng:

$a+b^2+c^3\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^3}$

Cho $x,y,z$ thực dương thỏa mãn $xyz=1$.Chứng minh rằng:

$\frac{x}{y^4+2}+\frac{y}{z^4+2}+\frac{z}{x^4+2}\geq 1$