nguyenhongsonk612

Lấy ngẫu nhiên một điểm $M$ trên nửa đường tròn tâm $O$, đường kính $AB = 2a$. Biết rằng xác suất điểm $M$ rơi vào cung $CD$ bất kì của nửa đường tròn $AMB$ chỉ phụ thuộc vào độ dài cung $CD$

$a)$ Tìm hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên $Y$ chỉ diện tích tam giác $AMB$

$b)$ Tìm giá trị trung bình của diện tích tam giác ấy

Bài $1$:

Hai người thợ cùng may một loại áo với xác suất để may được sản phẩm có chất lượng cao tương ứng $0,8$ và $0,9$. Biết có một người khi may $6$ áo thì có $5$ sản phẩm chất lượng cao. Tìm xác suất để người đó may $6$ áo nữa thì có $5$ áo chất lượng cao

Bài $2$:

Đi trên một đoàn đường núi trung bình trong $1$ giờ gặp $60$ ổ gà. Tìm xác suất để trong $30$ giây không gặp một ổ gà nào

Bài $3$:

Cho biến ngẫu nhiên $X$ có hàm phân phối $F(x)$ tăng thực sự và liên tục. Tìm hàm phân phối của $F(X)$

Giải các phương trình vi phân cấp $2$ sau:

$a)$ $y''=\frac{y'}{\sqrt{y}}$

$b)$ $y''(1+y)=y'^2+y'$

Bài $1$: Xét tính hội tụ đều của các tích phân sau:

$a)$ $I(\alpha)=\int_{0}^{\infty }\sqrt{\alpha}e^{-\alpha x^2}dx$ trên $[0; +\infty)$

$b)$ $I(p)=\int_{0}^{\infty }\frac{\sin x^2}{1+x^p}dx$ trên $[0; +\infty)$

$c)$ $\int_{0}^{\infty }e^{-t^2(1+x^2)}dx$ trên $\mathbb{R}$

$d)$ $I(t)=\int_{0}^{\infty }\frac{tdx}{1+t^2x^2}$ trên $[a;b]$, $a<0<b$

$e)$ $\int_{0}^{\infty }\frac{\sin ax}{x}dx$ trên $[a;b]$, $a<0<b$

Bài $2$: Chứng minh rằng với $n$ là số nguyên dương lớn hơn $1$ thì hàm $I_{n}(t)=\int_{0}^{\infty }\frac{x\sin x}{(x^2+t^2)^n}dx$ có đạo hàm mọi cấp trên $(0; +\infty)$

Bài $1$: 

$a)$ Chứng minh rằng dãy hàm $\left \{ f_n (x)\right \}: f_n(x)=\frac{n(x^3+x)e^{-x}}{nx+1}$ hội tụ đều trên $[a;1]$ với mọi $a \in (0;1)$

$b)$ Chứng minh rằng dãy hàm $\left \{ f_n(x) \right \}: f_n(x)=nx^n(1-x)$ hội tụ đều trên $[0;a]$ với mọi $a>1$

Bài $2$: 

Chứng minh rằng chuỗi hàm $\sum_{n=1}^{\infty }x^ne^{-nx}$ hội tụ đều trên $\mathbb{R}^{+}$