lehoangphuc1820

Bai 5. Tren mat phang toa do ta ky hieu $[A,B]=x_A.y_B-x_B.y_A$

Khi do $S_{ABC}=\dfrac{|[A,B]+[B,C]+[C,A]|}{2}$

 

Cho mình hỏi làm sao có cái này ???

 

ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HSG

Năm học: 2014-2015

Thời gian: 150 phút

 

I. Phần chung (Cho tất cả thí sinh):

 

Câu 2 (4 điểm):

 Giải phương trình: $$x^2+\sqrt[3]{x^4-x^2}=2x+1 (1)$$  

 

 

Câu 2:

$(1)\Leftrightarrow x^2-x-1=x-\sqrt[3]{x^4-x^2}=\frac{x^3-x^4+x^2}{x^2+x\sqrt[3]{x^4-x^2}+\sqrt[3]{(x^4-x^2)^2}}$ (liên hợp)

$\Leftrightarrow (x^2-x-1)(\frac{x^2}{x^2+x\sqrt[3]{x^4-x^2}+\sqrt[3]{(x^4-x^2)^2}}+1)=0$

$\Leftrightarrow x^2-x-1=0\Leftrightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$

mấy bác coi điểm thế nào hay vậy.

Em thì nó báo không tìm thấy thí sinh nào

Sở GDĐT tỉnh Đăk Lăk                                                        Đề thi HSG cấp tỉnh

-------------------------------                                                        Năm học 2014-2015

      Đề chính thức                                                                 Môn Toán THCS

 Bài 1: (4 đ)

Cho $P=\frac{x\sqrt{x}-\sqrt{x-1}+2\sqrt{x}}{\sqrt{x^2-x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{2}{\sqrt{x-1}}$

a) Tìm đk của $x$ để $P$ có nghĩa

b) Rút gọn $P$

c) Tìm $x$ để $P$ đạt min

Bài 2:(4 đ)

a) Cho hai số thực $a,b$ khác $0$ và thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2}$. Cm pt $(x^2+ax+b)(x^2+bx+a)=0$ với ẩn $x$ luôn có nghiệm

b) Biết $(\sqrt{x^2+2015}+x)(\sqrt{y^2+2015}+y)=2015$. Tính $x+y$

Bài 3: (4 đ)

a) Tìm các số chính phương có 4 chữ số biết rằng khi tăng mỗi chữ số thêm 1 đơn vị thì ta vẫn thu được một số chính phương (số chính phương là bình phương của một số tự nhiên)

b) Tìm số nguyên $a$ để pt $x^2-(3+2a)x+40-a=0$ có nghiệm nguyên và tìm các nghiệm nguyên của pt đó ứng với các giá trị $a$ tìm được

Bài 4(4đ) Cho $\Delta ABC$ có 3 góc nhọn nội tiếp $(O,R)$. Hai đường cao AI và BE của tam giác cắt nhau tại H

   a) CM EI vuông góc OC

   b) Biết CH=R. Tính $\widehat{ACB}$

Bài 5 (2đ)

Cho $\Delta ABC$ có đường cao AH. Gọi M,N là trung điểm AB, AC. Hạ BE, CF vuông góc HN, HM. CM AH, BE, CF đồng quy

Bài 6(2đ)

Cho 3 số thực không âm $a,b,c$ thỏa $a+b+c=3$. CM BĐT $a^3+b^3+c^3+ab+ac+bc\geq 6$

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH                 KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2014-2015

                                                                         Khóa ngày 17 tháng 3 năm 2015

ĐỀ CHÍNH THỨC                                                      Môn: TOÁN LỚP 9

SỐ BÁO DANH:................                    Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề)

                                                                                                                    Đề gồm có 01 trang

___________________________________________________________________________________

Câu 1: (2,0 điểm)

 

  b) Không sử dụng máy tính, chứng minh $Q=\sqrt{2014^2+2014^2.2015^2+2015^2}$ là số nguyên 

 

Câu 4: (1,5 điểm)

  Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=2015$. Chứng minh: $\sum \frac{a}{a+\sqrt{2015a+bc}}\leq 1$ (1)

 

                                                     ----------------- HẾT-------------------

 

C1:b) Xét dạng TQ 

$\sqrt{x^2+x^2.(x+1)^2+(x+1)^2)}=\sqrt{(x^2+x+1)^2}=(x^2+x+1)$

C4: (Đây là cách của mình, hơi dài tí   )

$\sum \frac{a}{a+\sqrt{2015a+bc}}=\sum \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}=3-\sum \frac{\sqrt{(a+b)(a+c)}}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}$

$\Rightarrow (1)\Leftrightarrow \sum \frac{\sqrt{(a+b)(a+c)}}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}\geq 2 \Leftrightarrow \frac{1}{2\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+2}\geq 1$  

Lại có $\sum \frac{1}{2\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+2}\geq \frac{9}{\sum 2\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+6}$

Ta có bđt quen thuộc $\sum 2.\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \sum (\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c})=3$

Do đó $\sum \frac{1}{2\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+2}\geq \frac{9}{\sum 2\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+6}\geq \frac{9}{3+6}=1 (đpcm))$

Tìm các số tự nhiên $x$ và $y$ sao cho : $x^x$ có y chữ số, còn $y^y$ có x chữ số

Vì $x^x$ có $y$ chữ số, $y^y$ có $x$ chữ số nên 

        $10^{y-1}\leq x^x <10^y$ (1)

        $10^{x-1}\leq y^y <10^x$

Giả sử $x\geq y$ thì $x^x <10^y\leq 10^x\Rightarrow x< 10$

Với $x=2;3;4;5;6;7$ thì $x^x<10^{x-1}\leq y^y$ vô lí do $x\geq y$.

Với $x=1;8;9$ thì $10^{x-1}\leq x^x<10^x$

Kết hợp với (1) ta tìm đc các cặp $(x;y)$ là $(1;1);(8;8);(9;9)$

Cho ba số dương x , y , z thỏa mãn điều kiện  xyz = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

P = $\frac{1}{x^{3}\left ( y+z \right )}+\frac{1}{y^{3}\left ( z+x \right )}+\frac{1}{z^{3}\left ( x+y \right )}$

$P = \sum \frac{1}{x^{3}\left ( y+z \right )}=\sum \frac{x^2y^2z^2}{x^{3}\left ( y+z \right )}=\sum \frac{y^2z^2}{x\left ( y+z \right )}\geq \frac{(xy+yz+xz)^2}{2(xy+yz+xz)}=\frac{xy+yz+xz}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}{2}=\frac{3}{2}$

Dấu bằng khi $x=y=z=1$

Câu 1: CMR trong 3 số lẻ đôi một phân biệt ta luôn có thể chọn ra 2 số, goi là $a$ và $b$ sao cho $a^3b-b^3a$ chia hết cho 40

CM:

Ta có: $a^3b-b^3a=ab(a-b)(a+b)$

Đặt $a=2k+1; b=2h+1$ suy ra $a^3b-b^3a=ab(a-b)(a+b)=4(2k+1)(2h+1)(k-h)(k+h+1)$

Trong 2 số $k-h$ và $k+h+1$ chắc chắn có 1 số chia hết cho 2 (xét tính chẵn lẻ)

Suy ra $a^3b-b^3a$ chia hết cho 8 (1)

Giờ ta cần cm chọn đc $a,b$ sao cho $a^3b-b^3a$ chia hết cho 5

  + Nếu một trong 3 số đã cho chia hết cho 5 thì suy ra đpcm

  + Nếu không có số nào chia hết cho 5 thì ta chia thành 2 cặp số dư như sau $(1;4)$ và $(2;3)$

   Vì có 3 số nên có 3 số dư khi chia cho 5; mà lại chỉ có 2 cặp nên theo ng lí Dirichle có ít nhất hai số dư cùng thuộc một cặp. Do đó tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 5.

Suy ra  chọn đc $a,b$ sao cho $ab(a-b)(a+b)\vdots 5$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra tìm đc $a,b$ thỏa $a^3b-b^3a\vdots 40$

 Mọi người xem góp ý 

Tìm số các nghiệm nguyên không âm của phương trình $x+2y+3z=100$ trong trường hợp luôn tồn tại 2 nghiêm bằng nhau

Gọi $x_{0},y_{0},z_{0}$ là 3 nghiệm của pt; $(x_{0},y_{0},z_{0}\in N)$

Ta xét các TH sau:

    TH1: $x_{0}=y_{0}\Rightarrow 3x_{0}+3z_{0}=100$ (loại vì VP ko chia hết cho 3)

    TH2: $x_{0}=z_{0}\Rightarrow 4x_{0}+2y_{0}=100 \Rightarrow 2x_{0}+y_{0}=50$. Xét $x$ từ $1$ đến $25$ ta sẽ có được 25 bộ nghiệm

    TH3: $y_{0}=z_{0}\Rightarrow x_{0}+5y_{0}=100$. Xét $y$ từ $1$ đến $20$ ta sẽ có được 20 bộ nghiệm

 vậy có tổng cộng $20+25=45$ nghiệm

Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn x+y+z=xyz
C/m $\frac{1+\sqrt{1+x^{2}}}{x}+\frac{1+\sqrt{1+y^{2}}}{y}+\frac{1+\sqrt{1+z^{2}}}{z}\leq xyz$

Ta có: $\frac{1+\sqrt{1+x^{2}}}{x}=\frac{2+\sqrt{4(1+x^{2})}}{2x}\leq \frac{2+\frac{4+(1+x^2)}{2}}{2x}=\frac{9+x^2}{4x}$

Tương tự ta có:$\frac{1+\sqrt{1+y^{2}}}{x}\leq \frac{9+y^2}{4y}$ ; $\frac{1+\sqrt{1+z^{2}}}{z}\leq \frac{9+z^2}{4z}$

$\Rightarrow \sum \frac{1+\sqrt{1+x^{2}}}{x}\leq \sum \frac{9+x^2}{4x}=\frac{9(xy+yz+xz)+xyz(x+y+z)}{4xyz}\leq \frac{9.\frac{(x+y+z)^2}{3}+(xyz)^2}{4xyz}=xyz$

Dấu bằng khi $x=y=z=\sqrt[]{3}$

cho các số dương a,b,c,d thỏa mãn các điều kiện $a^{2}+c^{2}=1$ và $\frac{a^{4}}{b}+\frac{c^{4}}{d}= \frac{1}{b+d}$

chứng minh rằng $\frac{a^{2014}}{b^{1007}}+\frac{c^{2014}}{d^{1007}}= \frac{2}{\left ( b+d \right )^{1007}}$

Đề phải là $a^2+c^2=1$ chứ bạn!

Ta có bđt $\frac{a^2}{b}+\frac{c^2}{d}\geq \frac{(a+c)^2}{b+d}$

Dấu bằng khi $ad=bc$

Áp dụng ta có:$\frac{a^{4}}{b}+\frac{c^{4}}{d}\geq \frac{(a^2+c^2)^2}{b+d}=\frac{1}{b+d}$

Xảy ra dấu bằng khi $a^2d=c^2b\Leftrightarrow \frac{a^2}{b}=\frac{c^2}{d}$

Từ kết quả trên ta có:

$a^2(b+d)=a^2b+a^2d=a^2b+c^2b=(a^2+c^2)b=b$

$\Rightarrow \frac{a^2}{b}=\frac{1}{b+d}\Leftrightarrow 2(\frac{a^2}{b})^{1007}=2(\frac{1}{b+d})^{1007}\Leftrightarrow \frac{a^{2014}}{b^{1007}}+\frac{c^{2014}}{d^{1007}}= \frac{2}{\left ( b+d \right )^{1007}}$ (vì $\frac{a^2}{b}=\frac{c^2}{d}$)

Xong !

 

6,Cho ${\color{Red} x,y,z\geq 0}$ và ${\color{Red} x+y+z=3}$.Tìm min ${\color{Red} P=x^4+2y^4+3z^4}$

Giải: 

Đăt: $a=\sqrt[3]{2}b=\sqrt[3]{3}c=k=\frac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}}$

$\Rightarrow a^3=2b^3=3c^3=k^3$

Theo phân tích trên ta có:

$P+3(a^4+2b^4+3c^4)\geq 4(xa^3+2yb^3+3zc^3)\Rightarrow P\geq 4a^3(x+y+z)-3(a^4+2b^4+3c^4)=12a^3-3(a^4+2b^4+3c^4)$

(vì $a+b+c=3$)

Đến đây chắc ổn rồi, chỉ cần thay $a,b,c$ vào nữa là xong ! 

 

Chùm bài tập chứng minh BĐT chứa biến ở mẫu

 

$200)$ Cho $a;b;c>0$ thỏa $ab+bc+ca=3$. Cmr: $\sum \frac{1}{1+a^2(b+c)}\leq \frac{1}{abc}$

 

Từ gt $ab+ac+bc=3\Rightarrow abc\leq 1$

Ta có: $\sum \frac{1}{1+a^2(b+c)}=\sum \frac{1}{1+a(ab+ac)}=\sum \frac{1}{1+a(3-bc)} = \sum \frac{1}{1+3a-abc}\leq \sum \frac{1}{3a}$ (vì $-abc\geq -1$)

Do đó $\sum \frac{1}{1+a^2(b+c)}\leq \sum \frac{1}{3a}=\frac{ab+ac+bc}{3abc}=\frac{1}{abc} (dpcm))$

Dấu bằng khi $a=b=c=1$

Tính a+b với a là số chữ số của 2²⁰⁰⁹ và b là số chữ số của 5²⁰⁰⁹.
Giải giúp minh bài này với bằng cách của lớp 8 đc k

Vì $a$ là số chữ số của $2^{2009}$ nên $10^{a-1}< 2^{2009}< 10^{a}$ (1)

Tương tự $10^{b-1}< 5^{2009}< 10^{b}$ (2)

Nhân (1) và (2) theo vế ta có: $10^{a+b-2}< 10^{2009}< 10^{a+b}$

$\Rightarrow a+b-1=2009\Rightarrow a+b=2010$

Xong!