HungNT

cho x,y,z > 0. Tìm gtnn của

$P = x + y + z+\frac{1}{x+y+2z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{2x+y+z}$

cho x,y,z > 0 thỏa mãn $x^{2}+ y^{2}+z^{2}\leq 3$

Tìm GTNN của  $P=\frac{1}{1+xy}+ \frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+zx}$

Chú ý: Cách gõ công thức Toán.

            Cách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{2}-y^{2}-2x+2y=-3\\ y^{2}-2xy+2x=-4 \end{matrix}\right.$

Bạn nào làm rõ ra giúp mình 

Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy điểm M sao cho đường tròn nội tiếp tam giác AMB bà AMC bằng nhau. Chứng minh $AM^{2}=S.cot\frac{A}{2}$

 

Câu 4:(3.00 điểm). Từ điểm $M$ ở ngoài đường tròn tâm $(O)$ kẻ các tiếp tuyến $MA;MB(A;H$ là các tiếp điểm$)$. Trên cung lớn $AB$ lấy các điểm $C;D$ sao cho $AC=CD$. Gọi $I$ là giao điểm của $AD$ và $BC$. Qua $M$, kẻ đường thẳng song song với $AD$, cắt $AC$ tại $E$. Chứng minh rằng:

 

$a)$ Tam giác $MEA$ cân

$b)$ Đường thẳng $MC$ đi qua trung điểm của đoạn $AI$

 

a/ Ta có $\angle MAE=\angle CAx=1/2 sd~\widetilde{AC}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây)

mà $\widetilde{AC}=\widetilde{CD}=>\angle CAx=\angle CAD=>\angle MAE=\angle MEA$

Suy ra tam giác $MAE$ cân

b/ Gọi giao điểm của $MC$ và $AI$ là $K$, $ME$ và $CB$ là $N$

Ta có $\angle EAB=\angle EAM+\angle MAB=1/2(sd~\widetilde{AB}+sd~\widetilde{CD})$

$\angle ENB=\angle AIC=1/2(sd~\widetilde{AC}+sd \widetilde{BD})$

$\Rightarrow \angle EAB +\angle ENB=180^{0}\Rightarrow$ tg $ABNE$ nội tiếp 

$\Rightarrow ME=MN$

Theo ĐL Talet $\frac{AK}{ME}=\frac{IK}{MN}\Rightarrow AK=IK\Rightarrow dpcm$

Giải pt $2(x^{2}+8 )=7\sqrt{x^{3}+27}$

Cho tam giác có độ dài 3 cạnh là $a,b,c$ có chu vi bằng 4. C/m

$27\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc \right )\geq 208$

Nhận thấy x = 0 không phải một nghiệm của PT, ta chia 2 vế cho $x^{2}$

$<=>x^{2}+bx+1+b.\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}=0 <=> ( x^{2}+\frac{1}{x^{2}} )+b (x+\frac{1}{x} )+1=0$

$<=>( x+\frac{1}{x} )^{2}-2x.\frac{1}{x}+b( x+\frac{1}{x} )+1=0 <=>( x+\frac{1}{x} )^{2}+b( x+\frac{1}{x} )-1=0$

Thay $t=x+\frac{1}{x},~PT<=>t^{2}+bt-1=0$

Có $\Delta \geq 0 \left ( \forall b \right )$ 

Do $\left\{\begin{matrix} x.\frac{1}{x}>0\\ x+\frac{1}{x}=t\\ x<0 \end{matrix}\right.=>t<0$

Và PT $x+\frac{1}{x}=t$ có 2 nghiệm phân biệt $=>\left\{\begin{matrix} t<0\\ t^{2}-4>0 \end{matrix}\right.=>t<-2$

Hay $t_{1}\leq t_{2}<-2=>\left\{\begin{matrix} \left ( t_{1}+2 \right )\left ( t_{2}+2 \right )>0\\ t_{1}+t_{2}+4<0 \end{matrix}\right.$

Đến đây dùng Viet vô tư rồi.

 

5/ a/ (O) BC kg đi qua tâm cố định. Điểm A di chuyển trên cung lớn BC. trên tia đối AB lấy D: $AD=AC$. M trđ CD. Hỏi M di chuyển trên đường nào? Nêu cách dựng, tìm giới hạn.

 

Ta có A,M,N thẳng hàng, dựng $ON\perp BC$, $CE\perp BN$

Khi $A\equiv C$ thì $M\equiv C$

Khi $A\equiv B$ thì $M\equiv E$ do $CM\perp AN$

Vậy giới hạn là cung tròn CE có chứa N đường kính CN

GPT: $\frac{x+1}{x-1}+\frac{x-2}{x+2}+\frac{x-3}{x+3}+\frac{x+4}{x-4}=4$

Không rành khoản này lắm, k biết đúng không

Dựng MF||AB, MN||AC $\left ( F,N\in BC \right )$

Theo talet ta có $\frac{1}{BQ}=\frac{FC}{BC.MF};~\frac{1}{CP}=\frac{BN}{BC.MN}$

$\frac{1}{\bar{BQ}}+\frac{1}{\bar{CP}}=\pm(\frac{1}{BQ}\pm \frac{1}{CP})=\pm \frac{FC\pm BN}{BC.MN}$

Do khi P,Q nằm cùng phía với BC (quy ước $\frac{1}{\bar{BQ}}+\frac{1}{\bar{CP}}=\pm(\frac{1}{BQ}+ \frac{1}{CP})$) thì $\vec{FC},\vec{BN}$ cùng hướng và P,Q nằm khác phía BC thì $\vec{FC},\vec{BN}$ ngược hướng nên $\frac{1}{\bar{BQ}}+\frac{1}{\bar{CP}}=\frac{\bar{BN}+\bar{FC}}{BC.MN}=\frac{\bar{BC}+\bar{FN}}{BC.MN}=\frac{1}{MN}+\frac{\bar{FN}}{BC.MN}$

$= \frac{1}{MN}\pm \frac{2.cosC}{BC}=const$

 

Bài 5: (4 điểm)

Cho 2 điểm cố định $A, B$ và điểm  di động trên mặt phẳng sao cho $\hat{ACB}=a \ (0<a<180)$ không đổi cho trước. Hình chiếu của tâm đường tròn nội tiếp $I$ của tam giác $ABC$ xuống ba cạnh $AB,\ BC,\ CA$ lần lượt là $D,E,F$. $AI$ và $BI$ cắt $EF$ lần lượt tại $M,N$.
a) Chứng minh độ dài $MN$ không đổi.
b) CM đường tròn $(DMN)$ luôn đi qua một điểm cố định.

chém câu nào dế nhất

5.

a.Nếu E nằm giữa N,F thì $\angle AEN=\angle CEF=90^{0}-\frac{\alpha}{2}=\frac{\angle A+\angle B}{2}$

hay $\angle AEN=\angle AIN$

Nếu N nằm giữa E,F thì $\angle AEN+\angle AIN=180^{0}$

Suy ra tứ giác AIEN nội tiếp$=>\angle MNI=\angle IAB=>\Delta MNI\sim \Delta BAI$

$=>MN=\frac{NI}{AI}.AB=cos(90^{0}-\frac{\alpha }{2}).AB=const$

b.MB cắt AN tại K, do AM,BN,KD là các đường cao của $\Delta KAB$

Suy ra đường tròn ngoại tiếp $\Delta DMN$ là đường tròn Euler của $\Delta KAB$ đi qua trung điểm AB

kh12.jpg

Bài 4 vòng 1

Ta có $CM.CP=CB.CA$

Lại có $\angle CMD=\angle PAQ=\angle POD$

=> Tứ giác ODMP nội tiếp $=>CD.CO=CM.CP$

$=>CD.CO=CB.CA=>\frac{AC}{CO}=\frac{CD}{CB}=\frac{CA-CD}{CO-CB}=\frac{AD}{OB}$

$=>\frac{AC}{CO}=2.\frac{AD}{AB}$ hay $\frac{AC}{AC-\frac{AB}{2}}=\frac{2AD}{AB}$

$=>\frac{AC-\frac{AB}{2}}{AC}=\frac{AB}{2AD}=>1=\frac{AB}{2AC}+\frac{AB}{2AD}$

Suy ra $\frac{1}{AC}+\frac{1}{AD}=\frac{2}{AB}$

Tính giá trị:

$A=log_{3}2.log_{4}3....log_{16}15$

Áp dụng CT: $log_{a}N=log_{a}b.~log_{b}N$

$A=log_{16}15.log_{15}14...log_{3}2.log_{2}1=log_{16}14.log_{14}12...log_{4}2$

$=...$

$=log_{16}2=\frac{1}{4}$

 

 

câu 3:(3 điểm)

Cho tam giác $ABC$ có $AD$ trung tuyến,gọi $M$ là trung điểm $AD$.Đường thẳng $BM$ cắt $AC$ tại $N$.Chứng minh rằng $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCN$ khi và chỉ khi $\frac{BM}{MN}=(\frac{AC}{AB})^2$

 

Đặt $\frac{BN}{BM}=k$

Ta có $\vec{AN}=\vec{AB}+\vec{BN}=\vec{AB}+k\vec{BM}=\vec{AB}+k( \frac{1}{2}\vec{BA}+ \frac{1}{4}\vec{BC} )$

$=>\vec{AN}=\frac{2-k}{2}\vec{AB}+\frac{k}{4}\vec{BC}$

$\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC}$

Do A,N,C thẳng hàng nên ta có $\frac{2-k}{2}=\frac{k}{4}=>k=\frac{4}{3}$

$=>\frac{BN}{BM}=\frac{4}{3}=>\frac{BM}{MN}=3$

Lại có $\vec{AN}=\frac{2-k}{2}\vec{AB}+\frac{k}{4}\vec{BC}$$=\frac{1}{3}\vec{AB}+\frac{1}{3}\vec{BC}$

$=>\frac{AN}{AC}=\frac{1}{3}$

Mà AB là tiếp tuyến nên $AB^{2}=AN.AC=\frac{AC^{2}}{3}=>\frac{AC^{2}}{AB^{2}}=3$

$=>\frac{AC^{2}}{AB^{2}}=\frac{BM}{MN}$