Binh Le

CM như sau

$P=\sum \frac{a+3}{(a+1)^{2}}=\sum \frac{a+1+2}{(a+1)^{2}}=\sum \frac{1}{a+1}+\sum \frac{2}{(a+1)^{2}}$

Lại có

$\sum \frac{1}{a+1}=\sum \frac{bc}{1+bc}=3-\sum \frac{1}{bc+1} (1)$

Mặt khác có bdt phụ

$\frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{1}{(y+1)^{2}}\geq \frac{1}{xy+1}$

nên $2\sum \frac{1}{(a+1)^{2}}\geq \sum \frac{1}{ab+1} (2)$

Cộng theo vế $(1);(2)$ ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

Câu 3: (4đ)

         

         1. Giải PT $9x^2+12x-2=\sqrt{3x+8}$

     

ĐK

Đặt $\sqrt{3x+8}=-3y+2$

Ta đưa về hệ đối xứng

$$\left\{\begin{matrix} 9x^{2} +12x+3y=4\\ 9y^{2}-12y-3x=4\end{matrix}\right.$$

.....

Cho $a,b,c\in R$ thoả mãn $a+b+c=1$

Cmr $15(a^{3}+b^{3}+c^{3}+ab+bc+ca)+9abc\geq 7$

Cho tam giác $ABC$ đều và $M$ là một điểm thuộc miền trong của tam giác

Từ $M$ hạ các đường vuông góc $MA_{1};MB_{1};MC_{1}$ xuống $BC,AC,AB$

Tìm GTNN của $P=\frac{MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}}{(MA_{1}+MB_{1}+MC_{1})^{2}}$

Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=4 &  & \\   x+y-\sqrt{xy}=3&  &  \end{matrix}\right.$

Đk:

Từ pt $(1)$

$4=\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}\leq \sqrt{2(x+y+2)}\Rightarrow x+y\geq 6$

Từ pt $(1)$

$x+y=3+\sqrt{xy}\leq 3+\frac{x+y}{2}\Rightarrow x+y\leq 6$

Do đó $x=y=3$(tmdk)

Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Tìm GTLN của $P=a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}$

$P=a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}=a+\frac{1}{2}\sqrt{a.4b}+\frac{1}{4}\sqrt[3]{a.4b.16c}\leq \frac{4}{3}(a+b+c)=\frac{4}{3}$

Cmr với mọi số tự nhiên $n>1$ ta có $\sum_{k=0}^{n-1}C_{2n+1}^{2(n-k)}.C_{n-k}^{1} \vdots 4^{n-1}$

Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $abc=1$

Tìm GTLN của biểu thức $P=\sqrt{\frac{1}{1+a}}+\sqrt{\frac{1}{1+b}}+\sqrt{\frac{1}{1+c}}$

Áp dụng định lý Talet cho tam giác SDR

      SM / SR = 0.5 sinBAC.tan(BAC/2)

      SN / SD = 0.5 sinEDF.tan(EDF/2)

Giải thích hộ mình

Cho 2 số thực $a,b$ thoả mãn điều kiện $a(a-1)+b(b-1)=ab$

Tìm GTLN và GTNN cua $P=a+b+ab$

$a^{3}+b^{3}+abc\geq ab(a+b+c)\Rightarrow \frac{1}{a^{3}+b^{3}+abc}\leq \frac{1}{ab(a+b+c)}$

Nên P=$\sum \frac{1}{a^{3}+b^{3}+abc}\leq \frac{a+b+c}{abc(a+b+c)}\doteq \frac{1}{abc}(dpcm)$

Cho $x, y, z >0$ thỏa mãn $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}=1$
Chứng minh rằng: $\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\geq \sqrt{x} + \sqrt{y}+\sqrt{z}+\sqrt{xyz}$

Từ gt suy ra $\sqrt{xyz}=\sum \sqrt{\frac{xy}{z}}$

Khi đó ta đi cm $\sqrt{x+yz}\geq \sqrt{x}+\sqrt{\frac{yz}{x}}\Leftrightarrow x+yz\geq x+\frac{yz}{x}+2\sqrt{yz}\Leftrightarrow x+yz\geq x+yz(1-\frac{1}{y}-\frac{1}{z})+2\sqrt{yz}\Leftrightarrow y+z\geq 2\sqrt{yz}$

Thiết lập tt cộng theo vế được đpcm

Giả sử tồn tại hàm $f(x)$ tm ycbt

Cho $y=\frac{x^{4}-f(x)}{2}$ vào $(1)$ rồi rút gọn 2 vế ta được

$4(x^{4}-f(x))f(x)(f^{2}(x)+(\frac{x^{4}-f(x)}{2}))=0$

....

Có tại http://diendantoanho...định-2014-2015/

Mở rộng một chút

Nếu $x_{1};x_{2}$ là 2 no của phương trình $X^{2}+SX+P=0$ thì $x_{1}^{n}+x_{2}^{n}\in N,\forall n\in N$