angleofdarkness

Tính trên máy $400.log(400)=1040,823...$

Nên số chữ số của $400^{400}$ là $1041$

Giải thích kĩ hơn được không bạn?

Hàm log(..) ở đây là tìm số chữ số của mũ logarit à?

Tìm số chữ số của $400^{400}.$

 

 

Bài 1 cm như sau
Từ gt suy ra x,y,z $\geq$ 0$

Không mất tính tổng quát giả sử $x\geq y\Rightarrow y^{2}\geq x^{2}\Rightarrow y\geq x\Rightarrow x=y$

.....

Không thể nói là không mất tính tổng quát, vì đây là hệ, các ẩn tham gia chỉ là hoán vị.

1) $\left\{\begin{matrix} x=y^2+z^2\\ y=z^2+x^2\\ z=x^2+y^2 \end{matrix}\right.$

 

Ta có thể dùng phương pháp đánh giá.

Đặt x = max {x; y; z} $\Rightarrow x\geq y; x\geq z$ $\left \langle 1 \right \rangle$

Hay $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y^2\geq x^2 \\ z^2\geq x^2\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y^2\geq x^2 \\ z^2\geq x^2\end{matrix}\right.$

Từ hệ cho dễ c/m $x,y,z\geq 0.$

$\Rightarrow y\geq x;z\geq x.$ $\left \langle 2 \right \rangle$

Từ $\left \langle 1 \right \rangle$ và $\left \langle 2 \right \rangle \Rightarrow x=y=z\geq 0.$

Thay vào hệ cho tính đc $x=y=z=0$ hoặc $x=y=z=\dfrac{1}{2}.$

Không khuyến khích lắm việc toán thủ lấy đề có sẵn trên mạng, có chăng thì cũng nên xào nấu lại xíu chứ lấy y nguyên lại thì không hay cho lắm thì phải

http://www.artofprob...11827d#p3103094

Tuy không khuyến khích thật nhưng mấy ai đã tìm đc đề này, dịch công phu và trả lời hoàn thiện như thế này đâu!

Ta có: ${(n^2+1)^2}^k . (44n^3 +11n^2+10n+2)=N^m $ (1).

Do các số n, k, m, N đều nguyên và không âm nên từ (1) ta có m, N luôn khác 0.

Ta xét các trường hợp:

- Xét n chẵn:

Ta có ${(n^2+1)^2}^k$ chia 4 dư 1và $(44n^3 +11n^2+10n+2)$ chia 4 dư 2 nên $N^m$ chia 4 dư 2.

Điều này xảy ra khi N=2 và m=1.

- Xét n lẻ suy ra $n=2a+1$ (với a không âm), ta có ${(n^2+1)^2}^k={2^2}^k . {[2a(a+1)+1]^2}^k$ . $(44n^3 +11n^2+10n+2)$ là số lẻ và chia 4 dư 3. (nói rõ hơn!!)

$\Rightarrow$ ${2^2}^k . {[2a(a+1)+1]^2}^k . (44n^3 +11n^2+10n+2)=N^m $

Để (1) xảy ra thì m lẻ, nên $N^m$ chẵn và N chẵn. (nói rõ hơn tại sao $m$ phải lẻ)

Khi đó từ (1) $\Rightarrow$ $N^m=(a.2^b)^m= a^m . 2^{b m}.$ (với a,b là các số nguyên dương; a là số lẻ)

$\Rightarrow {2^2}^k . {[2a(a+1)+1]^2}^k .(44n^3 +11n^2+10n+2)= a^m . 2^{bm}.$

Để tồn tại các số thỏa mãn đề thì ${2^2}^k=2^{bm}.$

$\Rightarrow 2^k= bm.$

Do các số đều nguyên nên để điều này xảy ra thì điều kiện cần là m =1 (do m là số lẻ)

$\Rightarrow$ đpcm.

Điểm. 9

S = 9.7+9*3 = 36.7

Ta có $(x-\sqrt{1+y^2})(y-\sqrt{1+x^2})=xy-y\sqrt{1+y^2}-x\sqrt{1+x^2}+\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}$

$=2xy+2\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}-xy-\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}-y\sqrt{1+y^2}-x\sqrt{1+x^2}$

$=2xy+2\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}-y(x+\sqrt{1+y^2})-\sqrt{1+x^2}(\sqrt{1+y^2}+x)$

$=2xy+2\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}-(x+\sqrt{1+y^2})(y+\sqrt{1+x^2})$

$=2xy+2\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}-1.$ (*)

Nhân theo vế của (*) với đẳng thức cho ta được:

$$(x^2-1-y^2)(y^2-1-x^2)=2xy+2\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}-1.$$

$\Leftrightarrow 1-(x^2-y^2)^2=2xy+2\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}-1.$

$\Leftrightarrow 2(1-xy)=2\sqrt{(xy-1)^2+(x+y)^2}+(x^2-y^2)^2.$

Nên $1-xy\geq \sqrt{(xy-1)^2+(x+y)^2}\geq \sqrt{(xy-2)^2}=|1-xy|.$ (**)

Lại có $|1-xy| \geq 1-xy$ nên dấu = ở (**) xảy ra khi x + y = 0. Tức x = -y.

Nên $(x+\sqrt{1+x^2})(y+\sqrt{1+y^2})=(x+\sqrt{1+x^2})(y+\sqrt{1+x^2})=1.$

Ta có $A=x\sqrt{y^2+1}+y\sqrt{x^2+1}$.

$\Rightarrow A^2=x^2.(y^2+1)+y^2.(x^2+1)$

$=x^2y^2+x^2+x^2y^2+y^2+1+2xy\sqrt{(x^2+2)(y^2+1)}-1$

$=x^2y^2+(x^2+1)(y^2+1)+2xy\sqrt{(x^2+2)(y^2+1)}$

$=[xy+\sqrt{(x^2+2)(y^2+1)}]^2-1$

$=m^2-1.$

Do không có điều kiện của x, y nên $A=+/-\sqrt{m^2-1}.$

Xét hạng tử tổng quát:

$\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+(n+1)}=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2n+1}=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{4n^2+4n+1}}$

$<\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{4n^2+4n}}=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2\sqrt{n(n+1)}}=\dfrac{1}{2}\left ( \dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}} \right )$

Áp dụng BĐT trên ta có $A<\dfrac{1}{2}\left ( \dfrac{1}{\sqrt{1}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{24}}-\dfrac{1}{\sqrt{25}} \right )=\dfrac{1}{2}\left ( 1-\dfrac{1}{5} \right )=\dfrac{2}{5}.$

$\Rightarrow $ đpcm.

Ta có $(x+\sqrt{4-x^2})(x-\sqrt{4-x^2})=4.$   

Mà đề có $(x-\sqrt{4-x^2})(y-\sqrt{4-y^2})=4$ nên $(x-\sqrt{4-x^2})$ khác 0 và kết hợp  ta đc:

$$x+\sqrt{4-x^2}=y-\sqrt{4-y^2}.(1)$$ 

Tương tự có $x-\sqrt{4-x^2}=y+\sqrt{4-y^2}.(2)$

Cộng (1) và (2) ta đc $x=y.$

Thay vào  đẳng thức đã cho để tìm x và y, ta có $(x-\sqrt{4-x^2})^2=4.$

Đến đây bạn tự làm tiếp.

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm ta được:

$T=\sqrt{(x-a)(b-x)}+\sqrt{(x-c)(d-x)} \leq \frac{x-a+b-x}{2}+\frac{x-c+d-x}{2}=\frac{b-a+d-c}{2} \leq 0$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=d\geq 0$