Đến nội dung


lahantaithe99

Đăng ký: 18-12-2013
Offline Đăng nhập: 30-07-2019 - 11:54
*****

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: KẾT QUẢ KỲ THI VMO 2017

27-01-2017 - 23:16

Còn Trương Công Cường (cucuong567)-Giải nhì , Trần Minh Khoa ( Candy Panda)-Giải ba nữa :D 


Trong chủ đề: Topic post ảnh người yêu, bạn gái,...

24-12-2016 - 23:43

-_-  -_-  -_-  -_-

Bạn nào đây sao giống gái Hàn thế ? :mellow:  :mellow:


Trong chủ đề: Đề thi chọn đội tuyển quốc gia THPT chuyên KHTN - ĐHQG Hà Nội vòng 1 năm...

24-09-2016 - 16:08

THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VÒNG 2 NGÀY 1

 

 

Bài 1: Cho dãy $(x_n)$ với $n\in\mathbb{Z}^+$  xác định bởi $\left\{\begin{matrix}x_1=3,x_2=7\\ x_{n+2}=x_{n+1}^2-x_n^2+x_n\end{matrix}\right.$

Đặt $y_n=\sum ^{n}_{k=1}\frac{1}{x_k}$. CMR $(y_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

 

Bài 2: Tìm tất cả các cặp $(a,p)$ thỏa mãn $2p^2-1=7^a$ với $p\in\mathbb{P}$ và $a\in\mathbb{N}$

 

Bài 3: Cho tam giác $ABC$ nhọn ( $AB<AC$) nội tiếp đường tròn tâm $(O)$, trực tâm $H$. $P$ là một điểm nằm trên trung trực của $BC$ và nằm trong tam giác $ABC$. Đường thẳng qua $A$ song song với $PH$ cắt $(O)$ tại $E$ khác $A$. Đường thẳng qua $E$ song song với $AH$ cắt $(O)$ tại $F$ khác $E$. $Q$ là điểm đối xứng với $P$ qua $O$. Đường thẳng qua $F$ song song với $AQ$ cắt $PH$ tại $G$.

(a) CMR các điểm $B,C,P,G$ cùng thuộc một đường tròn tâm $K$

(b) $AQ\cap (O)\equiv R\neq A$, $PQ\cap FR\equiv L$. Chứng minh rằng $KL=OP$

 

Bài 4: Trong các tập hợp con của tập hợp gồm $2016$ số nguyên dương đầu tiên $\left \{ 1,2,...,2016 \right \}$ có tính chất: Hiệu hai phần tử bất kỳ của tập hợp con luôn khác $4$ và khác $7$ . Tìm GTLN của số lượng các phần tử của mỗi tập con này. 


Trong chủ đề: bổ đề của các hàm số học

16-07-2016 - 17:37

Bổ đề 1:

Đặt $n=p_1^{a_1}...p_k^{a_k}$

Thấy rằng $\text{VT}=\prod ^{k}_{i=1}p_i^{a_i-1}\prod^{k}_{i=1} \left (p_i-1 \right )+\prod^{k}_{i=1} (p_i^{a_i}+p_i^{a_i-1}+...+1)=n\left[\prod ^{k}_{i=1}\left ( 1-\frac{1}{p_i} \right )+\prod^{k}_{i=1}\left ( \frac{1}{p_i} +1\right ) \right]$

Thế nên ta cần có $\left[\prod ^{k}_{i=1}\left ( 1-\frac{1}{p_i} \right )+\prod^{k}_{i=1}\left ( \frac{1}{p_i} +1\right ) \right]\geq 2$

Điều này hiển nhiên đúng vì những số có dấu âm khi khai triển $\prod ^{k}_{i=1}\left ( 1-\frac{1}{p_i} \right )$ đều bị triệt tiêu bởi những số giống vậy nhưng có dấu dương của biểu thức $\prod^{k}_{i=1}\left ( \frac{1}{p_i} +1\right ) $

Đẳng thức xảy ra khi $n$ là số nguyên tố.

Bổ đề 2: 

 

Ta thấy $\text{VT}=\tau(1)+...+\tau(n)$ là  số các ước nguyên dương của $1,2,...,n$

Mỗi $\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor$ là số các số chia hết cho $i$ từ  $1,2,...,n$. Với $i$ chạy từ $1$ đến $n$ ta có $\sum^{n}_{i=1} \left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor$ là số các số chia hết cho $1,2,..,n$ từ $1,2,...,n$, tức là xác định được số ước của mỗi số từ $1,2,...,n$

Do đó $\sum^{n}_{i=1} \left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor=\tau(1)+...+\tau(n)$

Ta cần CM $2\left ( \left \lfloor \frac{n}{1} \right \rfloor+...+\left \lfloor \frac{n}{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor} \right \rfloor \right )=\left \lfloor \frac{n}{1} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor+...+\left \lfloor \frac{n}{n} \right \rfloor+\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor^2$ $(\star)$

Xét hàm $f(x)=\frac{n}{x}$ thì $f^{-1}(x)=\frac{n}{x}$. Ta thấy hàm $f[1,\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor]\rightarrow [\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor+1,n]$ đơn điệu giảm và khả nghịch. Khi đó $\sum ^{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor}_{i=1}\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor-\sum ^{n}_{i=\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor+1}\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor=\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor\alpha (\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor+1)-\left \lfloor n \right \rfloor\alpha (1)=\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor^2$, hay ta có $(\star)$, suy ra đpcm


Trong chủ đề: Chứng minh rằng $a \le \left\lfloor1 + \sqrt...

15-05-2016 - 02:19

Bài này khá đơn giản

 

Do tính nhỏ nhất của $a$ nên $\left ( \frac{1}{p} \right )=\left ( \frac{2}{p} \right )=...= \left ( \frac{a-1}{p} \right )=1$

Ta đi tìm số $t$ sao cho $\left ( \frac{t}{p} \right )=-1\Leftrightarrow \left ( \frac{ta}{p} \right )=1$ $(1)$

 

Để ý bổ đề sau: Nếu $x,y\in\mathbb{N}$ mà $\frac{x}{y}\not\in\mathbb{Z}$ thì $\frac{x-1}{y}+1\geq \left \lfloor \frac{x}{y} \right \rfloor+1$ 

$\Rightarrow x-1+y\geq \left \lfloor \frac{x}{y} \right \rfloor.y+y$

Chọn $x=p, y=a,\left \lfloor \frac{x}{y} \right \rfloor+1=b\Rightarrow at\leq p+a-1\Rightarrow at-p\leq a-1$. Kết hợp với $(1)$ suy ra $\left ( \frac{at-p}{p} \right )=1\Leftrightarrow 1=\left ( \frac{a}{p} \right )\left ( \frac{t}{p} \right )\Rightarrow \left ( \frac{t}{p} \right )=-1$. 

Trường hợp đẹp nhất là $t=a$. Nếu $a> \left \lfloor \sqrt{p}+1 \right \rfloor$, dễ chứng minh $t< \left \lfloor \sqrt{p} \right \rfloor+1\leq \left \lfloor \sqrt{p}+1 \right \rfloor$, khi đó $t\neq a$, tức là có một số nhỏ hơn $a$ cũng không là scp mod $p$ ( vô lý)

Do đó ta có đpcm

----------------------------------------------------------------------

P.s: Lần thứ ba làm bài này  :oto: