Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh:
$\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[11]{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}}$
Đại khái là ta có một BĐT phụ như sau:
Cho $a,b,c>0$ thì $5(a+b+c)^6\geq 729abc(a^3+b^3+c^3+2abc)$
Áp dụng BĐT trên vào bài toán và dựa vào đk $abc=1$ ta có $5(a+b+c)^6\geq 729(a^3+b^3+c^3+2)$
$\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[6]{\frac{a^3+b^3+c^3+2}{5}}$
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ thì
$\frac{a^3+b^3+c^3}{3}+\frac{a^3+b^3+c^3}{3}+\frac{a^3+b^3+c^3}{3}+1+1\geq 5\sqrt[5]{\frac{(a^3+b^3+c^3)^3}{27}}$
Do đó mà ta thu được $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[10]{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}}$
Mặt khac với $abc=1$ ta dễ thấy $\sqrt[10]{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}}\geq \sqrt[11]{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}}$
Do đó ta có đpcm
- Hoang Tung 126, nguyenhongsonk612, Lee LOng và 2 người khác yêu thích