KoBietDatTenSaoChoHot

Cartesian là Đề Các đó em

À, bài này em đã giải quyết bằng cách tương tự như đối với hai phần tử rồi. 

Post lên luôn em

Còn một bước nữa là chỉ ra đa thức đó bất khả quy chứ nhỉ. 

Thật ra là ko cần đâu bạn. Tất cả các automorphism $\sigma$ của $Aut(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})/\mathbb{Q})$ đều có dạng $\sigma(\sqrt{i})=\pm \sqrt{i}$, với $i=2, 3, 5$. Vì $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})/\mathbb{Q}$ là Galois, nên $|Aut(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})/\mathbb{Q})|=[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}):\mathbb{Q}]=2^3=8.$ Điều đó chứng tỏ có tất cả $8$ automorphism, và điều đó cũng nghĩa là ảnh của $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ qua các automorphisms này phải có 8 ảnh khác nhau, tức là tất cả các combination của $\pm\sqrt{2}\pm\sqrt{3}\pm\sqrt{5}$. Do đó, minimal polynomial của $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ là phải như mình đã nêu ra.

Nếu chỉ hai phần tử thì mình dùng cách đơn giản là xong, như em nói. Còn chứng minh rằng $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})=\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})$ thì anh chẳng biết cách nào khác là dùng automorphism group. Đại loại là ta có kết quả rằng, nếu $a$ là một nghiệm của $f(t)\in \mathbb{Q}[t]$, và $K$ là một mở rộng trường của $\mathbb{Q}$, thì với mọi $\sigma\in Aut(K/\mathbb{Q})$, $\sigma(a)$ là một nghiệm của $f(t)$.

Bước 1:  Ta tìm hết tất cả các  automorphism của $K$ fix $\mathbb{Q}$, tức là tìm $Aut(K/\mathbb{Q})$. Ở đây, $K=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})$. Việc tìm cái này ko rắc rối lắm, em có thể tham khảo ở đây: http://math.stackexc...2-sqrt3-mathbbq

Bước 2: Dễ dàng thấy rằng, $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}\in \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})$. Suy ra, $\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})\subset \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})$. Để chứng minh chúng bằng nhau, ta chỉ cần chứng minh rằng cái minimal polynomial cho $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ có bậc là $8$. Tuy nhiên, nếu $f$ là minimal polynomial cho $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$, thì $\sigma(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})$ cũng là một nghiệm của $f$ với mọi $\sigma\in Aut(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})/\mathbb{Q})$. Vì ta đã tìm được $\sigma\in Aut(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})/\mathbb{Q})$ ở bước 1, ta có thể dễ dàng tìm hết tất cả các nghiệm của $f$. Đại loại chúng là $\pm\sqrt{2}\pm\sqrt{3}\pm\sqrt{5}$. Đặt tên cho chúng là $\alpha_i$, $i=1,..,8$. Tính toán "bằng tay" biểu thức sau, ta được

$$(t-\alpha_1)(t-\alpha_2)(t-\alpha_3)(t-\alpha_4)(t-\alpha_5)(t-\alpha_6)(t-\alpha_7)(t-\alpha_8)=t^8-40t^6+352t^4-960t^2+576.$$

Ở đây, "bằng tay" là isomorphic với "mathematica"

Bài này có thể dùng Galois theory để giải được ko em?