KoBietDatTenSaoChoHot

Giả sử $F_0$ là một field với characteristic $p>0$. Gọi $F=F_0(t_1^p, t_2^p)$, $L=F_0(t_1, t_2)$. Chứng minh rằng

a. Nếu $\alpha \in L\backslash F$, thì $[F(\alpha):F]=p$.

b. Có vô số fields $K$ thoả mãn $F\subsetneq K\subsetneq L$.

Câu 1: Giả sử $K/F$ là galois. Nếu $F\subset k\subset K$ và $L$ là trường con nhỏ nhất của $K$ chứa $k$ sao cho $L/F$ là normal. Cmr: 

$Aut(K/L)=\bigcap_{\sigma\in Aut(K/F)}\sigma Aut(K/k)\sigma^{-1}.$

Câu 2: Giả sử $K/F$ là Galois. Giả sử $p^r\mid [K:F]$ nhưng $p^{r+1}\nmid [K:F]$ thì tồn tại các trường $L_i$, $1\leq i\leq r$ sao cho $F\subset L_r\subsetneq L_{r-1}\subsetneq ...\subsetneq L_1\subsetneq L_0=K$ sao cho $L_i/L_{i+1}$ là normal, $[L_i:L_{i+1}]=p$ và $p\nmid [L_r:F]$.

Ta có một định lý (Dirichlet) nói rằng: với bất kỳ hai số nguyên sao cho $(a,n)=1$, có vô số số nguyên tố $p$ sao cho $p$ đồng dư với $a$ mod $n$. 

Câu hỏi: Dùng định lý trên để chứng minh rằng mọi nhóm abelian hữu hạn là một Galois group over $Q$.

Mình vẫn chưa giải quyết được bài này, mong các bạn giúp đỡ.

Mình có vài bài đang bí về các vấn đề như sau:

1. Giả sử $F$ là một trường và $|F|=q<\infty$. Ta biết các điều cơ bản sau về $F$:

-Thứ nhất, $F$ là field với characteristic $p$ với $p$ là nguyên tố.

-Thứ hai, $q=p^n$ với một $n$ nào đó (thực ra, $n$ là số chiều của $F$ nếu ta coi $F$ là một ko gian vector trên trường là prime subfield của $F$).

-Thứ ba, $a^q=a$ với mọi $a\in F$.

Các vấn đề trên mình đã chứng minh xong. Nhưng còn vấn đề cuối cùng minh đang bí: Chứng minh rằng, nếu $b\in K$, với $K/F$ là một field extension nào đó, và $b$ là algebraic over $F$ (tức là $b$ là nghiệm của một đa thức nào đó có hệ số trong $F$), thì $b^{q^m}=b$ với một $m$ nào đó.

2. Nếu $u$ là transcendental over $F$ và $F<k\subset F(u)$. Chứng minh rằng $u$ là algebraic over $k$.

3. NẾu $x$ là transcendental over $F$ , thì $t^2-x\in F(x)[t]$ là irreducible.  

Mình đang suy nghĩ bài này: CMR $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ is not isomorphic to $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$. (Nguồn của bài này là lấy trong sách Algebra của Dummit and Foote, bài 4, chương 14.1. Chương này liên quan về field extension, galois groups...)

Mình suy nghĩ thế này, ko biết đúng ko nhưng ngoài ra mình chưa nghĩ ra cách khác:

Giả sử $\sigma: \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \to \mathbb{Q}(\sqrt{3})$ là isomorphism. Thì vì $\sigma(1)=1$, nên ta có thể suy ra là $\sigma(q)=q$ với mọi $q\in \mathbb{Q}$. 

Với $f(t)=t^2-3 \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})[t]$, và $f'(t)=\sigma(f(t))=\sigma(1)t^2-\sigma(3)=t^2-3 \in \mathbb{Q}(\sqrt{3})$. Gọi $E$ là splitting field của $f(t)$ over $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, và $E'$ là splitting field của $f'(t)$ over $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$. Rõ ràng $E=\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$, và $E'=\mathbb{Q}(\sqrt{3})$. 

Ta có một định lý là $\sigma$ có thể mở rộng ra thành một isomorphism giữa $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ và $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$. Tuy nhiên, hai trường này ko có isomorphic. Vì thế, giả thuyết ban đầu là sai. Cho nên $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ is not isomorphic to $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$.