Khoai Lang

Ta có: $M=x^2-2x(y-1)+y^2-2y+1+y^2-8y+16+1$

$\Leftrightarrow M=(x-y+1)^2+(y-4)^2+1 \geq 1$

Từ đó ta có $đpcm$

t đâu có lớn hơn 0 đâu bạn

$x \neq 1$ nên $y \neq -3;-2;-1;0$ nên $t>0$

Xét $x=1 \rightarrow \begin{bmatrix} y=0 & \\ y=-1 & \\ y=-2 & \\ y=-3 & \end{bmatrix}$

Xét $x\neq 1$

Ta có: $y(y+1)(y+2)(y+3)=t^2+2t ( t=y^2+3y)$

Mà ta có: $t^2<t^2+2t<(t+1)^2$

Điều đó chỉ ra được $y(y+1)(y+2)(y+3)$ không là số chính phương,hay $\sqrt{y(y+1)(y+2)(y+3)}$ là số vô tỉ. $(1)$

Mà $x$ nguyên nên $x^{2015}$ nguyên. $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta thấy phương trình vô nghiệm với $x\neq 1$

Kết luận:.......................

Câu 2:

a) Để phương trình $(1)$ có 2 nghiệm phân biệt thì:

$\Delta_{(1)}=4-m >0$

$\Leftrightarrow 4>m$

Vậy với $m<4$ thì phương trình $(1)$ có 2 nghiệm phân biệt.

b) Vì $x_1$ là nghiệm của phương trình $(1)$ nên

$x_1^2-2x_1+m-3=0$

$\Leftrightarrow x_1^2=2x_1-m+3$

Tương tự: $x_2^2=2x_2-m+3$

Mặt khác theo giả thiết ta có:

$\frac{x_1+x_2}{x_2^2+2x_1+m^2}+\frac{x_1^2+2x_2+m^2}{x_1+x_2}=\frac{53}{14}$

Thế $x_1^2,x_2^2$ vào ta được

$\frac{x_1+x_2}{2x_2-m+3+2x_1+m^2}+\frac{2x_1-m+3+2x_2+m^2}{x_1+x_2}=\frac{53}{14}$

Tới đây theo định lý Viet ta thế vào và tìm được $m$

c) Ta có $\Delta_{(2)}=m^2-m-3$

Xét tổng $\Delta_{(1)}+\Delta_{(2)}=m^2-2m+1=(m-1)^2\geq 0,\forall m$

Nên trong hai biệt thức trên tồn tại ít nhất một biệt thức lớn hơn hoặc bằng không, hay một trong hai phương trình có nghiệm (đpcm).

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                 KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN

          THANH HÓA                                                     NĂM HỌC 2015-2016

                                                            MÔN TOÁN ( dành cho thí sinh thi chuyên Toán )

                                                                                 Thời gian : 150 phút

Câu 2:

a/ Giải phương trình : $\frac{5x^{2}}{9}+\frac{8}{x^{2}}=\frac{4}{3}-x\left ( \frac{x}{3}-\frac{4}{x} \right )$

b/ Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{2}+x-1=y & & \\ y^{2}+y-1=z & & \\ z^{2}+z-1=x & & \end{matrix}\right.$

 

                                        

a/ $ĐK: x\neq 0$

Tìm x

$\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{2x}$

Cách khác:

           ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM                                                          ĐỀ THI TUYẾN SINH LỚP 10

TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU                                                            Năm học: 2015-2016

           HỘI ĐỒNG TUYẾN SINH                                                             Môn thi: Toán (không chuyên)

                                                                                                      Thời   gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề

Bài 1: (2 điểm)

a) Giải phương trình:$(x^2-9)\sqrt{2-x}=x(x^2-9)$

b) Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} (x^2+4y^2)^2-4(x^2+4y^2)=5 & \\3x^2+2y^2=5 & \end{matrix}\right.$

Bài 2: (1,5 điểm) Cho phương trình $\frac{(x-2m)(x+m-3)}{x-1}=0 (1)$

a) Tìm $m$ đề phương trình $(1)$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$

b) Tìm $m$ để $x_1^2+x_2^2-5x_1x_2=14m^2-30m+4$

Bài 3: (1,5 điểm) a) Rút gọn $Q=(\frac{3+\sqrt{x}}{3-\sqrt{x}}+\frac{3-\sqrt{x}}{3+\sqrt{x}}-\frac{36}{x-9}):\frac{\sqrt{x}-5}{3\sqrt{x}-x} (x>0;x\neq 9;x\neq25)$

                           b) Tim $x$ để $Q<0$

Bài 4: (2 điểm):

a) Cho một tam giác vuông. Nếu ta tăng độ dài mỗi cạnh góc vuông thêm $3cm$ thì diện tích tăng $33 cm^2$; nếu giảm độ dài một cạnh vuông đi $2cm$ và tăng độ dài cạnh vuông còn lại lên $1cm$ thì diện tích giảm $2cm^2$. Hãy tính độ dài các cạnh góc vuông.

b) Bạn An dự định trong khoảng thời gian từ ngày $1/3$ đến $30/4$ sẽ giải mỗi ngày $3$ bài toán. Thực hiện đúng kế hoạch một thời gian, thì đến cuối tháng $3$ ( tháng $3$ có $31$ ngày), thì An bị bệnh phải nghỉ giải toán nhiều ngày liên tiếp. Khi hồi phục, trong tuần đầu tiên An chỉ giải được $16$ bài; sau đó An cố gắng giải $4$ bài một ngày, và đến $30/4$ thì An cũng hoàn thành đúng kế hoạch đã định. Hỏi bạn An đã nghỉ giải toán ít nhất bao nhiêu ngày?

Bài 5: Hình bình hành $ABCD$ có tam giác $ADC$ nhọn, $\widehat{ADC}=60^{\circ}$. Đường tròn tâm $O$ ngoại tiếp $ADC$ cắt $AB$ tại $E$ ($E \neq A$), $AC$ cắt $DE$ tại $I$.

a) Chứng minh tam giác $BCE$ đều và $IO \perp DC$

b) Gọi $K$ là trung điểm của $BD$, $KO$ cắt $DC$ tại $M$. Chứng minh $A,D,M,I$ thuộc cùng một đường tròn.

c) Gọi $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Tính $\frac{JO}{DE}$

..............................................Hết.................................................

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

$\boxed{Đề4}$

Câu 3: Tìm tất cả các số hữu tỉ $x$ sao cho giá trị biểu thức $x^{2}+x+6$ là số chính phương

Vì $x$ là số hữu tỉ. Đặt $x=\frac{a}{b} ((a,b)=1)$

Ta có: $x^2+x \epsilon Z$

 $\Rightarrow \frac{a^2}{b^2}+\frac{a}{b} \epsilon Z$

$\Leftrightarrow b| a^2+ab$

$\Leftrightarrow b| a(a+b)$

Mà $(a,b)=1$

Nên $b=1$ từ đó ta có $x$ là số nguyên.

Tới đây giải giống cách của bạn marcoreus101

Câu a đề có sai không vậy bạn ? Tổng 2 nghiệm là $x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}=2m$

Phương trình có nghiệm khi $m\geq 0$, vậy thì với $m$ có dạng $m=\frac{k}{2}$ với $k\in Z$ thì tổng 2 nghiệm sẽ nguyên thôi

Còn $a=m^2+5$ nữa mà bạn.

Tồng 2 nghiệm $x_1+x_2= \frac{2m}{m^2+5}$

Mà $m^2+5>2m$ nên không thể là số nguyên được.

2)

b) Cho $x=\sqrt[3]{1+\frac{\sqrt{84}}{9}}+\sqrt[3]{1-\frac{\sqrt{84}}{9}}$. Chứng minh $x$ là số nguyên.

 

Ta có $x^3=2+3x\sqrt[3]{\frac{-1}{27}}$

$\Leftrightarrow x^3+x-2=0$

$\Leftrightarrow (x-1)(x^2+x+2)=0$

$\Leftrightarrow x=1$ (Do $x^2+x+2=(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{7}{4} >0$)

Dễ có $ \Delta AKC \sim \Delta A'HC (g.g)$

$\Rightarrow \frac{CH}{CK}=\frac{A'C}{AC} (1)$

Lại có $\Delta A'EC \sim \Delta AFC(g.g) $

$\Rightarrow \frac{A'C}{AC}=\frac{CE}{CF} (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$

$\Rightarrow \frac{CK}{CH}=\frac{CF}{CE}$

$\Leftrightarrow EF||HK$ (Hệ quả Thalès)

Vậy ta có đpcm.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Gọi $I$ là giao điểm của $BH$ với $AC$

$\Rightarrow BI \bot AC$

Gọi $M$ là trung điểm của $EC$

       $N$ là giao điểm của $BI$ với $AN$

$\Rightarrow BN \bot MN$

Từ đó dễ có từ giác $EHNM$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{NMH}=\widehat{HEN}$

Mà $\widehat{HEN}=\widehat{ABN}$ ( dot tứ giác $ANEB$ nội tiếp)

Nên $\widehat{NMH}= \widehat{ABN} (1)$ 

Mặt khác dễ thấy $AM||FC$

$\Rightarrow \widehat{FCA}=\widehat{CAM} (2)$

Mà ta lại có tứ giác $AICB$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{ICA}=\widehat{ABI} (3)$

Từ $(1),(2)$ và $(3)$

$\Rightarrow \widehat{HMA}=\widehat{MAC}$

Từ đó có $HM||AC$

Hay $H$ là trung điểm của $AE$, đây là điều phải chứng minh.

Vậy ta có đpcm.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

cho OM=3R. MA, MB là 2 tiếp tuyến. vẽ AD // MB. MD cắt đường tròn (O) tại C. BC cắt MA tại F. AC cắt MB tại E[/size]
a) Chứng minh: MAOB nội tiếp[/size]
b) Chứng minh: EB.EB = EC.EA[/size]
c) Chứng minh: E là trung điểm của MB[/size]
d) Chứng minh: BC.BM=MC.AB[/size]
e) Chứng minh: CF là tia phân giác của góc MCA (giúp câu này nhé)[/size]

Gợi ý $\Delta ABD$ cân tại $D$

Có gì không hiểu bạn xem cái "ẩn" ở dưới

Cho $a,bc,c$ là các số dương thỏa mãn $a+b+c=1$

Tìm Min $P=\dfrac{a}{a^{2}+8bc}+\dfrac{b}{b^{2}+8ac}+\dfrac{c}{c^{2}+8ab}$

điều này thì ai cũng biết rồi ạ. nhưng làm sao để chứng minh $\widehat{MHN}=\widehat{MEN}=90^{0}$ ???

Với $\widehat{MEN} =90^{0}$ thì có được là do $MO$ là đường kính

Với $\widehat{MHN} =90^{0}$  thì do $DA$ là dây chung của 2 đường tròn nên đường nối tâm $MO \perp DA$