$\LARGE \left\{\begin{matrix} (16x^4-20x^2+5)(16y^4-20y^2+5)=\frac{1}{xy}\\ x^2+y^2=1 \end{matrix}\right.$
*Có lẽ sử dụng pp lượng giác hóa*
- thuylinhnguyenthptthanhha yêu thích
Gửi bởi Nguyen Huy Hoang trong 06-08-2016 - 14:48
$\LARGE \left\{\begin{matrix} (16x^4-20x^2+5)(16y^4-20y^2+5)=\frac{1}{xy}\\ x^2+y^2=1 \end{matrix}\right.$
*Có lẽ sử dụng pp lượng giác hóa*
Gửi bởi Nguyen Huy Hoang trong 28-11-2015 - 21:52
Gửi bởi Nguyen Huy Hoang trong 28-11-2015 - 21:51
góc giữa $A'B$ và $(ACC'A')$ = 30 độ
<=> $\widehat{BA'C} = 30$
Tam giác $BA'C$ vuông tại $C$ (dễ cm) có $BC=a$, góc $BA'C = 30$ => $A'C = a\sqrt3$
Gọi $D$ là hình chiếu của $M$ lên $A'C$
Ta sẽ cm độ dài $MD$ là khoảng cách từ $M$ đến $mp(A'BC)$
Thật vậy:
+$MD$ vuông góc với $A'C$ theo cách ta vẽ
+$MD$ nằm trong $(ACC'A')$ mà $(ACC'A')$ vuông góc với $BC$ nên => $MD$ vuông góc với $BC$
=> $MD$ vuông góc với $mp(A'BC)$
Việc còn lại là tính $MD$
Xét riêng mặt phẳng $(ACC'A')$
Ta có:
$A'C'=AC=a$
$A'C=a\sqrt3$
Trong tam giác A'C'C, theo đ/l Pytago => $CC'=a\sqrt2$
Từ C' nếu ta hạ C'H vuông góc với A'C ( H nằm trong A'C) thì theo hệ thức lượng trong tam giác dễ thấy:
$\frac{1}{C'H^2}=\frac{1}{C'A'^2}+\frac{1}{C'C^2} $
=> $C'H=a\frac{\sqrt{6}}{3}$
Vì $M$ là trung điểm $A'C'$ nên dễ chứng minh $MD = \frac{1}{2} C'H = a\frac{\sqrt{6}}{6}$
Vậy khoảng cách cần tìm là $a\frac{\sqrt{6}}{6}$
Gửi bởi Nguyen Huy Hoang trong 05-08-2015 - 15:01
Gửi bởi Nguyen Huy Hoang trong 25-07-2015 - 13:48
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$P \geq \frac{(x+y)^2}{2-(x+y)}+\frac{1}{x+y}+x+y$
Đặt $f(t)=\frac{t^2}{2-t}+\frac{1}{t}+t$ (ĐK: $0 \leq t \leq 1$)
$=> f'(t)=\frac{3t^2+4t-4}{(2-t)^2t^2}$
$f'(t)=0 <=>t=\frac{2}{3}$ hoặc $t=-2$
Lập bảng biến thiên của $f(t)$ trên $(0;1)$ suy ra $Min_{P}=\frac{5}{2}$ tại $t=\frac{2}{3}$ hay $x=y=\frac{1}{3}$
Gửi bởi Nguyen Huy Hoang trong 25-07-2015 - 09:51
Điều kiện chính xác của bài này phải là
$x \geq -1$
$y \geq 0$
Với điều kiện trên, áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$VT = \sqrt{(x+2)(y+2)}+\sqrt{(x+1).2y} \leq \frac{x+y+4}{2}+\frac{x+2y+1}{2}=\frac{2x+3y+5}{2}=5=VP$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=1$.$\blacksquare$
Gửi bởi Nguyen Huy Hoang trong 25-07-2015 - 09:34
$S=\frac{h(a+b)}{2}=\frac{ha}{2}+\frac{hb}{2}={{S}_{ABD}}+\frac{hb}{2}$ (1)
Mặt khác:
$S={{S}_{ABD}}+{{S}_{BCD}}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra ${{S}_{BCD}}=\frac{hb}{2}$ (1')
Xét tam giác $BCD$ , hạ đường cao $DE$. Ta có:
${{S}_{BCD}}=\frac{DE.BC}{2}=\frac{DE.b}{2}$ (2')
Từ (1') và (2') suy ra $DE=h$
Xét hai tam giác vuông $ABD$ và $EDB$ có:$BD$ chung, $DE=AB=h$
=> $\Delta ABD=\Delta EDB$
=> $\widehat{ADB}=\widehat{DBE}$
Mà hai góc này ở vị trí so le trong
=> $AD$//$BC$
Lại có $AB\bot AD$
=> $AB\bot BC$=> đpcm
Gửi bởi Nguyen Huy Hoang trong 24-07-2015 - 19:51
Áp dụng bđt Cauchy có $4a+\frac{1}{a}\geq 2\sqrt{4a.\frac{1}{a}}=4$
Dây "=" xảy ra khi $a=\frac{1}{2}$
Cái này chưa phải nhỏ nhất bạn nhé!
$\frac{1}{2} \leq \frac{1}{4} $
Bạn đùa à?
Gửi bởi Nguyen Huy Hoang trong 24-07-2015 - 14:49
$\left\{ \begin{matrix} & {{(x-1)}^{2}}+2({{x}^{2}}+{{y}^{2}})=\frac{7}{2}+\frac{1}{{{x}^{4}}+{{y}^{4}}} \\ & x+\sqrt{{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}}=3 \\\end{matrix} \right.$
Gửi bởi Nguyen Huy Hoang trong 24-07-2015 - 12:34
1) Cô si ngược
Ta có:
$\sum{\left( \frac{{{a}^{2}}}{a+{{b}^{2}}} \right)}=\sum{\left( a-\frac{a{{b}^{2}}}{a+{{b}^{2}}} \right)}\ge \sum{\left( a-\frac{a{{b}^{2}}}{2b\sqrt{a}} \right)}=\sum{\left( a-\frac{b\sqrt{a}}{2} \right)=3-\sum{\frac{b\sqrt{a}}{2}}}$
Do đó ta cần chứng minh
$ \frac{b\sqrt{a}}{2}+\frac{c\sqrt{b}}{2}+\frac{a\sqrt{c}}{2}\le \frac{3}{2} $
$ \Leftrightarrow \sqrt{ab}\sqrt{b}+\sqrt{bc}\sqrt{c}+\sqrt{ca}\sqrt{a}\le 3 $
Theo Cauchy-Schwarz:
$ \sqrt{ab}\sqrt{b}+\sqrt{bc}\sqrt{c}+\sqrt{ca}\sqrt{a}\le \sqrt{(ab+bc+ca)(a+b+c)} $
$ \le \sqrt{\frac{{{(a+b+c)}^{2}}}{3}.(a+b+c)}=3 $
BĐT được chứng minh
2)Áp dụng bất đẳng thức Holder:
$\left( {{a}^{4}}+{{b}^{4}} \right)\left( {{a}^{4}}+{{b}^{4}} \right)\left( a+b \right)\ge {{\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}} \right)}^{3}}$
$\Leftrightarrow \frac{{{\left( {{a}^{4}}+{{b}^{4}} \right)}^{2}}}{{{\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}} \right)}^{2}}}\ge \frac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}{a+b}$
Lại có:$\frac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}{a+b}=\frac{(1+1)(1+1)\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}} \right)}{4(a+b)}\ge \frac{{{\left( a+b \right)}^{3}}}{4(a+b)}=\frac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{4}$
$\Rightarrow \frac{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}}{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}\ge \frac{a+b}{2}$
Chứng minh tương tự rồi cộng theo vế ba BĐT lại ta được đpcm.
Gửi bởi Nguyen Huy Hoang trong 21-07-2015 - 17:34
Gửi bởi Nguyen Huy Hoang trong 20-07-2015 - 23:03
Sử dụng BĐT $AM-GM$ ta có:
$S=\left ( \frac{a}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{\color{red}{4}} \right )+\frac{9(a^2+1)}{4a} \geqslant 1+\frac{18a}{4a}=\frac{11}{2}$
Xảy ra dấu $"="$ khi $a=1$
Chỗ này bạn ghi thiếu $a$ nè
Gửi bởi Nguyen Huy Hoang trong 14-07-2015 - 22:02
Giải các phương trình sau:
1) $\frac{17x+1}{\sqrt{3-2x^2}+2-x}=2x-3$
2) $3(x^2+1)^2-15=8x^2\sqrt{2(2-x^2)}$
3) $6x^3+15x^2+x+1=(3x^2+9x+1)\sqrt{x^2-x+1}$
4) $4\sqrt{1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+1)^2}}=\sqrt{x^2+x}+4$
*Chú ý: Cố gắng sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ
Gửi bởi Nguyen Huy Hoang trong 13-07-2015 - 20:26
Để ý thấy bất đẳng thức là thuần nhất, do đó ta chuẩn hóa $a+b+c=3$
Ta có:$\sum \frac{1}{4a^2+b^2+c^2}=\frac{1}{9}\sum \frac{(a+b+c)^2}{4a^2+b^2+c^2}$
$\leq {\color{red}{\frac{1}{9}(\frac{a^2}{2a^2}+\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2})=\frac{1}{2}}}$
Giờ ta sẽ chứng minh:$\frac{1}{2(a^2+b^2+c^2)}+\frac{1}{ab+bc+ca}\geq \frac{1}{2}$
Thật vậy:$\frac{1}{2(a^2+b^2+c^2)}+\frac{4}{4(ab+bc+ca)}\geq \frac{9}{2(a+b+c)^2}=\frac{1}{2}$
BĐT được chứng minh
Giải thích chỗ này?
Gửi bởi Nguyen Huy Hoang trong 11-07-2015 - 20:21
Áp dụng $Cauchy-Schwarz$ ta có:
$\frac{a}{(3b+5c)^3}+\frac{b}{(3c+5a)^3}+\frac{c}{(3a+5b)^3} $
$= \frac{a^4}{(3ab+5ac)^3} + \frac{b^4}{(3bc+5ab)^3} + \frac{c^4}{(3ac+5bc)^3}$
$= \left[\frac{a^4}{(3ab+5ac)^3} + \frac{b^4}{(3bc+5ab)^3} + \frac{c^4}{(3ac+5bc)^3} \right].\left[ (3ab+5ac)+(3bc+5ab)+(3ac+5bc)\right].\frac{1}{8}$
$\geq \frac{1}{8} \left [ \frac{a^2}{3ab+5ac}+\frac{b^2}{3bc+5ab}+ \frac{c^2}{3ac+5bc}\right]^2$
$\geq \frac{1}{8} \left[ \frac{(a+b+c)^2}{8(ab+bc+ca)}\right]^2$
$\geq \frac{1}{8}.\left(\frac{3}{8} \right)^2$
$=\frac{9}{512}$
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học