Đến nội dung

HoangHungChelski

HoangHungChelski

Đăng ký: 28-01-2014
Offline Đăng nhập: Riêng tư
**---

List bài toán số học của thầy Mạc Đăng Nghị về tập ước nguyên tố

03-12-2014 - 19:43

Sau đây là một list bài toán hay của thầy giáo mình, thầy Mạc Đăng Nghị cộng tác với vài thành viên trong lớp Toán 14-17 Chuyên Nguyễn Trãi. 

Bài 1: Cho $a\in \mathbb{N^*},a\geq 2$ và $p$ nguyên tố lẻ. CMR: $a-1,a^p-1$ không có cùng tập ước nguyên tố.

Bài 2: (China MO 2005) Cho $a,n\in \mathbb{N^*},a\geq 2$ sao cho $a-1,a^n-1$ có cùng tập ước nguyên tố. CMR: $n$ là một lũy thừa của $2$

Bài 3: Tìm $a,b\in \mathbb{N^*}$ sao cho $a-1,a^n-1$ có cùng tập ước nguyên tố.

Bài 4: Cho $a,m,n\in \mathbb{N^*}$. CMR: $\gcd(a^m-1,a^n-1)=a^{\gcd(m,n)}-1$

Bài 5: Cho $a,m,n\in \mathbb{N^*},m\geq n$ sao cho $a^m-1,a^n-1$ có cùng tập ước nguyên tố. CMR: $n|m$ và $\frac{m}{n}$ là lũy thừa của $2$.

Bài 6: Tìm $a,m,n\in \mathbb{N^*}$ sao cho $a^m-1=(a-1)^n$

Bài 7: Cho $a,b\in \mathbb{N^*}$ nguyên tố cùng nhau, $p$ nguyên tố. CMR: $a-b,a^p-b^p$ không có cùng tập ước nguyên tố

Bài 8: Tìm $a,b\in \mathbb{N^*}$ nguyên tố cùng nhau sao cho $a-b$ và $a^n-b^n$ có cùng tập ước nguyên tố

Bài 9: Cho $a,b\in \mathbb{N^*}$ nguyên tố cùng nhau và $m,n\in \mathbb{N^*},m>n$ sao cho $a^n-b^n,a^m-b^m$ có cùng tập ước nguyên tố. CMR: $n|m$ và $\frac{m}{n}$ là lũy thừa của $2$

Bài 10: Cho $a,b,m,n\in \mathbb{N^*},\gcd(a,b)=1$. CMR: $(a^m-b^m,a^n-b^n)=a^{\gcd(m,n)}-b^{\gcd(m,n)}$

Bài 11: Tìm $a,b,m,n\in \mathbb{N^*},\gcd(a,b)=1$ sao cho $a^m-b^m=(a-b)^n$. Hãy mở rộng bài toán với $a,b\in \mathbb{N^*}$ bất kì

Bài 12: Tìm $a\in \mathbb{N^*},p$ nguyên tố sao cho $a+1,a^p+1$ có cùng tập ước nguyên tố.

Bài 13: Tìm $a,n\in \mathbb{N^*}$ sao cho $a+1,a^n+1$ có cùng tập ước nguyên tố

Bài 14: Tìm $a,m,n\in \mathbb{N^*}$ sao cho $(a+1)^n=a^m+1$. 

Bài 15: (Thi 50 năm THTT) Tìm $a,b\in \mathbb{N^*}$ nguyên tố cùng nhau và $p$ nguyên tố sao cho $a+b,a^p+b^p$ có cùng tập ước nguyên tố

Bài 16: Tìm $a,b\in \mathbb{N^*},n\in \mathbb{N},\gcd(a,b)=1$ sao cho $a+b,a^n+b^n$ có cùng tập ước nguyên tố

Bài 17: Tìm $a,b\in \mathbb{N^*},\gcd(a,b)=1$ sao cho $a^m+b^m=(a+b)^n$. Hãy mở rộng như bài 10.

Một list bài toán với độ khó cũng tương đối nhưng chủ yếu là truyền cảm hứng là mục đích chính của thầy :) Mong các bạn cùng nhau trao đổi trong topic này và tìm ra thêm các mở rộng khác.


CMR: Với mọi số nguyên dương $n$ thỏa mãn $2^ny+1|x^{2^n}-1...

24-11-2014 - 15:02

CMR: Với mọi số nguyên dương $n$ thỏa mãn $2^ny+1|x^{2^n}-1$ thì $x=1$.


Chọn đội tuyển Quốc Gia Tỉnh Hải Dương $2014-2015$

27-10-2014 - 16:20

                                                KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM 2015
                                                                              THỜI GIAN: 180 PHÚT


Câu 1:(5 điểm) Cho các số thực $x,y,z$ thay đổi thỏa mãn $4^x+4^y+4^z=1$. Tìm giá trị lớn nhất của: 
$$S=2^{x+2y}+2^{y+2z}+2^{z+2x}-2^{x+y+z}$$

Câu 2: (5 điểm) Cho tam giác không cân $ABC$ có $H$ là chân đường cao kẻ từ $A$ và $M$ là trung điểm $BC$. Gọi $N$ là hình chiếu vuông góc của $C$ trên đường thẳng $AM$, $P_1$ là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $HMN$ và đường tròn đường kính $AB$ ($P_1\neq H$). Như vậy ta dựng được điểm $P_1$ tương ứng với đỉnh $A$, tương tự ta dựng điểm $P_2$ tương ứng với đỉnh $B$ và điểm $P_3$ tương ứng với đỉnh $C$. CMR: $AP_1,BP_2,CP_3$ đồng quy.

Câu 3: (6 điểm) Tìm tất cả $c\in \mathbb{N}$ sao cho tồn tại $a,b\in \mathbb{Z}$ thỏa mãn $a^n+2^n$ là ước của $b^n+c$ với $n\in \mathbb{Z^+}$. Với mỗi bộ $(a,b,c)$ ở trên mà $c$ lớn nhất, chứng minh rằng $a,b$ không đồng thời là hai số chính phương.

Câu 4: (4 điểm) Cho $n$ nguyên dương, $n\geq 3$, xét một bảng vuông $n\times n$ gồm $n^2$ hình vuông đơn vị. Ta phủ bảng vuông đó bởi ba loại quân domino: Loại $1$: $1\times m$ ($1$ hàng, $m$ cột, $m$ là số nguyên có thể thay đổi ,$m\geq 2$); Loại $2$: $p\times 1$ ($p$ hàng, $1$ cột, $p$ nguyên có thể thay đổi, $p\geq 2$); Loại $3$: $1\times 1$ ($1$ hàng, $1$ cột). Biết rằng không có $2$ quân domino hàng chồng lên nhau và không được phép quay hoặc lật các quân domino để biến quân domino loại $1$ thành loại $2$ và ngược lại. Gọi $K$ là số quân domino cần dùng để phủ hết bảng vuông sao cho số quân domino loại $3$ là loại $2$ bằng nhau. Tìm giá trị nhỏ nhất của $K$.

$$ \begin{matrix}\blacksquare \blacksquare \blacksquare &  \begin{matrix}\blacksquare \\ \blacksquare \end{matrix}& \blacksquare \\  \text{loại I}&  \text{loại II}&\text{loại III} \end{matrix} $$

(Một ví dụ về ba loại quân domino

 File gửi kèm  aaaa.JPG   12.2K   69 Số lần tải

                                                                                      ---------Hết---------


CMR Tồn tại vô số số nguyên dương $n$ sao cho tất cả ước nguyên tố của $...

23-10-2014 - 23:30

CMR Tồn tại vô số số nguyên dương $n$ sao cho tất cả ước nguyên tố của $n^2+n+1$ đều không lớn hơn $\sqrt{n}$.

 


CMR: $\sqrt{p}>\frac{m}{n}+\frac...

16-10-2014 - 18:54

Cho $p\equiv -1\pmod 8$ là một số nguyên tố và $m,n\in \mathbb{Z^+}$ thỏa mãn $\sqrt{p}> \frac{m}{n}$. CMR: 
$$\sqrt{p}>\frac{m}{n}+\frac{1}{mn}$$