Lee LOng

$\frac{sin{x}-tan{x}}{xe^{ax}-ln(1+x)}=\frac{x-\frac{x^3}{3!}-\frac{x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)}{1-\frac{x^2}{2}}}{x(1+x+\frac{x^2}{2})^{a}-ln(1+x)+o(x^3)}=\frac{x-\frac{x^3}{3!}-(x+\frac{x^3}{3})}{x[1+a(x+\frac{x^2}{2})+\frac{a(a-1)}{2}](x+\frac{x^2}{2})^{2}-(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3})+o(x^3)}=\frac{-x^3}{x^2(2a+1)+x^3(a^2-\frac{2}{3})}\Rightarrow a=\frac{-1}{2}$ 

Ta có bất đẳng thức :

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}{\sqrt[3]{abc}}$

Chuẩn hóa $abc=1$

Áp dụng bất đẳng thức Minicopsxki ta có:

$\sum \sqrt{\frac{b+c}{a}}\geq \sqrt{(\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{a}{c}}+\sqrt{\frac{c}{b}})^{2}+(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt{\frac{c}{a}})^{2}}\geq \sqrt{6(a+b+c)}$

Tìm hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn

$f(x-f(y))=2f(x)+x+f(y)$ (1)

Từ (1) thay x bởi f(x) 

$\Rightarrow  2f(f(y))=a-2f(y) (2) (\forall  y\epsilon R)$

Từ (1) thay y=0 ta có:$f(x-a)-2f(x)=x+a (a=f(0)=const)$

Vì $x+a$ chạy hết R nên $f(x-a)-2f(x)$ chạy hết R. Đặt $t=f(x-a)-2f(x)$

Sử dụng (1) và (2). Ta có:

$f(t)=f(f(x-a)-f(x)-f(x))=2f(f(x-a)-f(x))+f(x-a)-f(x)+f(x)=4f(f(x-a))+3f(x-a)+2f(x)=2a-f(x-a)+2f(x)=2a-t$

Thay $f(t)=2a-t$ vào (1) có a=0 $\Rightarrow f(t)=-t (\forall  t\epsilon R)$

Qua M vẽ các đường thẳng song song với AB,BC,AC. Dùng quy tắc hình bình hành, trung điểm