Lee LOng

$\frac{sin{x}-tan{x}}{xe^{ax}-ln(1+x)}=\frac{x-\frac{x^3}{3!}-\frac{x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)}{1-\frac{x^2}{2}}}{x(1+x+\frac{x^2}{2})^{a}-ln(1+x)+o(x^3)}=\frac{x-\frac{x^3}{3!}-(x+\frac{x^3}{3})}{x[1+a(x+\frac{x^2}{2})+\frac{a(a-1)}{2}](x+\frac{x^2}{2})^{2}-(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3})+o(x^3)}=\frac{-x^3}{x^2(2a+1)+x^3(a^2-\frac{2}{3})}\Rightarrow a=\frac{-1}{2}$ 

Ta có bất đẳng thức :

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}{\sqrt[3]{abc}}$

Chuẩn hóa $abc=1$

Áp dụng bất đẳng thức Minicopsxki ta có:

$\sum \sqrt{\frac{b+c}{a}}\geq \sqrt{(\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{a}{c}}+\sqrt{\frac{c}{b}})^{2}+(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt{\frac{c}{a}})^{2}}\geq \sqrt{6(a+b+c)}$

Tìm hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn

$f(x-f(y))=2f(x)+x+f(y)$ (1)

Từ (1) thay x bởi f(x) 

$\Rightarrow  2f(f(y))=a-2f(y) (2) (\forall  y\epsilon R)$

Từ (1) thay y=0 ta có:$f(x-a)-2f(x)=x+a (a=f(0)=const)$

Vì $x+a$ chạy hết R nên $f(x-a)-2f(x)$ chạy hết R. Đặt $t=f(x-a)-2f(x)$

Sử dụng (1) và (2). Ta có:

$f(t)=f(f(x-a)-f(x)-f(x))=2f(f(x-a)-f(x))+f(x-a)-f(x)+f(x)=4f(f(x-a))+3f(x-a)+2f(x)=2a-f(x-a)+2f(x)=2a-t$

Thay $f(t)=2a-t$ vào (1) có a=0 $\Rightarrow f(t)=-t (\forall  t\epsilon R)$

$(1):a,b,c\geqslant 0:\sum a=1.CMR:\sum \sqrt{a+\frac{(b-c)^2}{12}}\leqslant \sqrt{3}$

Không mất tính tổng quát, giả sử: $a\geq b\geq c$

Ta có: $\sqrt{a+m^{2}}+\sqrt{b+n^{2}}\leq \sqrt{2(a+b)+(m+n)^{2}}$

Ta có: 

$(\sum x)(\sum \frac{1}{x})=\sqrt{(\sum x^{2}+2\sum xy)(\sum \frac{1}{x^{2}}+2\sum \frac{1}{xy})}\geq \sqrt{\sum (x^{2})(\sum \frac{1}{x^{2}})}+2\sqrt{(\sum xy)(\sum \frac{1}{xy})} (*)$

BĐT $\Leftrightarrow (\sqrt{(\sum x)(\sum \frac{1}{x})}-1)^{2}\geq 1+\sqrt{(\sum x^{2})(\sum \frac{1}{x^{2}})}$ (Đúng theo $(*)$)

Dấu $(=) \Leftrightarrow (x^{2}-yz)(y^{2}-xz)(z^{2}-xy)=0$

Tồn tại giá trị a,b,c để $P\geq 0$. Giả sử a=max{a,b,c}.

$\Rightarrow 1\geq a\geq c\geq b\geq \frac{1}{2}$

Ta có: 

$P=f(a)=a(\frac{1}{b}-\frac{1}{c})+\frac{c-b}{a}+\frac{b}{c}-\frac{c}{b}$

Tính đạo hàm, ta có: 

$f'(a)=\frac{c-b}{bc}-\frac{c-b}{a^{2}}=\frac{(c-b)(a^{2}-bc)}{a^{2}bc}\geq 0.$

$\Rightarrow P\leq f(1)=\frac{(1-b)(1-c)(c-b)}{bc}\leq \frac{(1-\frac{1}{2})(1-c)(c-\frac{1}{2})}{\frac{1}{2}c}=-(c+\frac{1}{2c})+\frac{3}{2}\leq \frac{3}{2}-\sqrt{2}$

Đặt $m=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} ; n=\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}$ $(m,n\geq 3)$

Chuẩn hóa $a+b+c=1$

BĐT $\Leftrightarrow  \frac{a}{4-3c}+\frac{b}{4-3a}+\frac{c}{4-3b}\leq \frac{1}{3} $

1.Ta có:

$\sum \sqrt{a^{2}+(1-b)^{2}}\geq \frac{\sum \sqrt{(a+1-b)^{2}}}{\sqrt{2}}\geq \frac{a+1-b+b+1-c+c+1-a}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}$

Ta có: $k=\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}\Rightarrow k^{2}=2n-2\sqrt{n^{2}-1}\Rightarrow n^{2}-1=t^{2}$ ($t\epsilon$ N*)

Cho 3 số thực không âm a,b,c thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:

 $(ab)^{3}+(bc)^{3}+(ca)^{3}\leq \frac{1}{64}$

Đặt $\frac{b}{a}=\frac{xy}{z^{2}}; \frac{c}{b}=\frac{yz}{x^{2}}; \frac{a}{c}=\frac{xz}{y^{2}}$

$\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}=\sum \frac{z^{4}}{z^{4}+xyz^{2}+x^{2}y^{2}}\geq \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{x^{4}+y^{4}+z^{4}+xyz(x+y+z)+x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}}\geq 1$

Đặt $a=\frac{x}{y}; b=\frac{y}{z}; c=\frac{z}{x}$

$\sum \frac{a}{(a+1)(b+2)}=\sum \frac{x^{2}z^{2}}{xz(x+y)(y+2z)}\geq \frac{(xy+yz+xz)^{2}}{xz(x+y)(y+2z)+xy(y+z)(z+2x)+yz(z+x)(x+2y)}=\frac{1}{2}$

Ta có:

Ta có: 

$VT\geq 3\sqrt[3]{[\frac{(1+x)(1+y)(1+z)}{8}]^{n}}\geq 3\sqrt[3]{[\frac{2\sqrt{x}.2\sqrt{y}.2\sqrt{z}}{8}]^{^{n}}}\geq 3$